¿De cuántas maneras diferentes puede usted distribuir las 5 manzanas y 8 naranjas entre 6 niños si cada niño debe recibir al menos una pieza de fruta? Si había una manera de solucionar esto utilizando Pólya-Redfield que sería grande, pero no puedo averiguar los elementos del grupo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
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Yo soy demasiado perezoso para calcular el número de elementos con $k$ ciclos en $S_8$, pero si lo hace usted mismo una solución podría funcionar de la siguiente manera. (Voy a utilizar esta versión de Redfield-Polya y $[n]$ deberá indicar $\{1,\dots,n\}$.)
Tomemos $X = [13]$ el conjunto de las frutas, donde $G= S_5 \times S_8$ actúa en $X$ de manera tal que los primeros cinco manzanas y el después de ocho naranjas son indistinguibles. Entonces $$K_n = |[n]^X/G|$$ es el número de maneras de distribuir estas manzanas y naranjas entre seis distinguibles de los niños. Y $$ N_n = K_n -n\cdot K_{n-1}$$ el de las formas de distribuir estas manzanas y naranjas entre seis distinguibles de los niños de tal manera que cada niño debe recibir al menos una pieza de fruta.
Ahora, por el Teorema de $$K_n = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} n^{c(g)} = \frac{1}{5!\cdot 8!} \left(\sum_{g\in S_5} n^{c(g)}\right)\left(\sum_{g\in S_8} n^{c(g)}\right) = \frac{1}{5!\cdot 8!} \left(\sum_{i\in [2]} d_i n^{i}\right) \left(\sum_{i\in [4]} e_i n^{i}\right),$$ donde $c(g)$ es el número de ciclos de $g$, $d_i$ el número de permutaciones de $S_5$ con exactamente $i$ ciclos y $e_i$ el número de permutaciones de $S_8$ con exactamente $i$ ciclos.
El número que estamos buscando en la final es $N_6$.
