¿Cómo puedo encontrar la presentación del hiperplano en un sistema lineal?

Question

Considerar a la familia: $$ \begin{matrix} X & = & \textbf{Proj}\left(\frac{\mathbb{C}[s,t,u][x,y,z]}{s(x^4 -y^2z^2) + t(x^2y^2 - z^4) - u(x^4 + y^4 + z^4)}\right) & \\ \downarrow & & \downarrow\\ B & = & \textbf{Proj}(\mathbb{C}[s,t,u]) \end{de la matriz} $$ ¿Cómo puedo encontrar el hyperplane $H_x \subset B$ de los puntos cuyas fibras contienen un punto de $x \in X$? Por ejemplo, supongamos $x = [0:1:1:1:(-1)^{(1/3)}:(-1)^{(1/3)}]$. Para referencia, estoy buscando en Nicolaescu la introducción de la teoría de morse (página 252).

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Para referencia, aquí es lo que he intentado: si tengo el punto de $[s:t:u:a:b:c] \in X$, entonces creo que el hyperplane será distribuido por el conjunto de puntos $$ \{s,t,u \in \mathbb{C}: s(a^4 - b^2 c^2) + t(a^2b^2 - c^4) + u(a^4 + b^4 + c^4)\} $$ Supongo que esto a causa de la declaración después $$ H_x = \{ P \U : P(x) = 0 \} $$ donde $U$ es el plano proyectivo parametrización un esta familia, pero no estoy seguro de por qué esto es cierto.

Answer 1

Si la fibra a $[s:t:u]\in B$ contiene $x=[s':t':u':a:b:c]\in X$, entonces esto significa que, denotando por $P$ la ecuación de $X$ usted escribió :

$$[s:t:u]=[s':t':u']\text{ and }P(s',t',u',a,b,c)=0.$$

De hecho, por definición de $X\to B$, la fibra de más de $[s_0:t_0:u_0]\in B$ es $$\{[x:y:z]\in \Bbb P^2(\Bbb C) : P(s_0,t_0,u_0,x,y,z)=0\}\subseteq \mathrm{Proj}(\Bbb C[s_0,t_0,u_0][x,y,z])\subseteq \mathrm{Proj}(\Bbb C[s,t,u][x,y,z]).$$

Así, lo que usted escribió es casi correcta : me gustaría escribir $H_x=\{ [s:t:u]\in \Bbb P^2(\Bbb C) : s(a^4 - b^2c^2) + t(a^2b^2 - c^4) + u(a^4 + b^4 + c^4)\}$ en lugar de $\{ s,t,u\in\Bbb C : \dots\}$.

Edit: Ahora, denotando por $\hat{U}$ el doble proyectiva del espacio de $U$, si queremos describir explícitamente el mapa de $X\to \hat{U}$ definido por $x\mapsto H_x$, se puede escribir en coordenadas. Para este propósito, tenga en cuenta que si $(As+Bt+Cu=0)$ es la ecuación de una hyperplane $H$$\text{Proj}(\Bbb C[s,t,u])$, entonces las coordenadas de $H$$\hat{U}$$[A:B:C]$.

Por lo tanto, en tu ejemplo, el mapa de $x\mapsto H_x$ está definido por $$[s:t:u:a:b:c]\mapsto [a^4 - b^2c^2:a^2b^2 - c^4:a^4 + b^4 + c^4].$$