¿Cómo solucionarlo?

Question

¿Cómo puedo resolver esta ecuación:

ps

Lo tuvimos en un problema de concurso de matemáticas olímpico local.

Answer 1

$1$ Es una solución, solo sustituye y comprueba.

$x+\log(x)$ Está aumentando estrictamente, por lo tanto 1 a 1. Así,$x=1$ es la única solución para la ecuación

Answer 2

Intuitivamente \begin{align} \ln x+x&=1\\ \ln x+x\ln e&=1\\ \ln x+\ln e^x&=1\\ \ln (xe^x)&=1\\ xe^x&=e^1\\ xe^x&=1\cdot e^1 \end {align} Comparando LHS y RHS, obtendremos$x=1$.

Answer 3

ps

En otras palabras, necesitamos encontrar una raíz de$$\ln x+x=1\implies xe^x = e$

Esta función está aumentando para$f(x)=xe^x - e$ por lo tanto tendrá como máximo una solución en$x\gt-1$.

También como$(-1,\infty)$ debemos tener$e^x\gt0$.

Ahora es fácil ver que la raíz que necesitamos es$x\gt0$