¿Cómo estar seguro de la distribución de una variable estocástica discreta y limitada?

Question

Tengo una variable estocástica$X$ que toma los valores en$\{0,1,2\}$ con algunas probabilidades desconocidas. Quiero saber la distribución, y puedo probar$X$ tantas veces como quiera. ¿Cuántas veces necesitaré probar para obtener algún intervalo de confianza específico?

(Por ejemplo, el 99% está seguro de que las probabilidades estimadas están dentro de 0,01 de las probabilidades verdaderas).

Answer 1

Si usted tiene una variable de Bernoulli (0 o 1) con probabilidad de $p$, su varianza es $p(1-p)$ cual es siempre menor o igual a $1/4$. La media de $n$ de Bernoulli independientes variables tiende a una Gaussiana de la varianza $p(1-p)/n$ cual es siempre menor o igual a $1/4n$. Usted puede utilizar el hecho de que una variable Gaussiana tiene un 99% de posibilidades de ser, dentro de más o menos 2.58 desviaciones estándar, por lo que usted tiene que fijar su límite superior para que $2.58/(2\sqrt{n}) < .01$, lo que le da $n \geq 16641$.

Porque cada uno de los tres resultados de forma individual se comporta como una variable de Bernoulli y porque esto es un mundial límite superior también se puede aplicar este número en su variable discreta con tres resultados.

Answer 2

El Bayesiano forma de hacerlo no pierde información:

La variable $X$ es categóricamente distribuido con probabilidad de vectores $\mathbf p$. El conjugado antes de la categórica de distribución es la distribución Dirichlet, así que vamos a $\mathbf p$ ser de Dirichlet-distribución con forma de vector de parámetros $\boldsymbol\phi$. Con cada observación, la actualización de $\boldsymbol\phi$ por el incremento se dio cuenta de componente. A continuación, puede comprobar para ver si su máxima verosimilitud, probabilidad de $\mathbf p^\star$ es de 0.01 de la verdadera probabilidad mediante la integración de la bola con el radio de 0.01 centrado en $\mathbf p^\star$.