Si pruebo que el estimador de$\theta^2$ es imparcial, ¿prueba eso que el estimador del parámetro$\theta$ es imparcial?

Question

Deje $X_i$ ser un iid variable aleatoria teniendo pdf $f(\mathbf{x}|\theta)$ donde $E(X_i) = 6\theta^2$, e $\theta > 0$.

He calculado un estimador del parámetro ( $\theta$ )$f(\mathbf{x}|\theta)$$\hat{\theta} = \sqrt{\bar{x}/6}$. Para demostrar que esto es un estimador imparcial, que debo demostrar que $E(\hat{\theta}) = E\left(\sqrt{\bar{x}/6}\right)$. Sin embargo, desde la $\hat{\theta}^2 = \bar{x}/6$, sería mucho más fácil demostrar que $$\begin{align} E(\hat{\theta}^2) &= E(\bar{x}/6) \\ &=\frac{1}{6}E\left(\frac{\sum X_i}{n}\right)\\ &=\frac{1}{6n}\sum E(X_i) \\ &=\frac{1}{6n}n6\theta^2 \\&= \theta^2.\end{align}$$

En general, demostrando $x^2 =4$ no es la misma como la demostración de $x=2$, ya que el $x$ también podría ser $-2$. Sin embargo, en este caso $\theta>0$.

Me han demostrado que $\hat{\theta}^2$ es imparcial, es esto suficiente para mostrar que $\hat{\theta}$ es imparcial?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier estimador que $E(\widehat{\theta^2}) - E(\hat\theta)^2$ $=$ $\text{Var}(\hat\theta)\geq 0$ con la igualdad sólo al $\text{Var}(\hat\theta)=0$ (lo cual es fácil de comprobar que no espera).

Sustituir el primer término en el lado izquierdo de la desigualdad mediante el uso de su resultado para unbiasedness de $\widehat{\theta^2}$, y a continuación, utilizando el hecho de que $\theta$ $\hat \theta$ son positivos, muestran $\hat \theta$ es sesgada, no imparcial como usted supone. (En general, se podría aplicar la desigualdad de Jensen, pero no es necesario aquí)

Tenga en cuenta que esta prueba no se refieren a los detalles de su problema-para un no-negativo estimador de un no-negativo parámetro, si su plaza es imparcial para la plaza del parámetro, entonces el estimador debe ser sesgada, a menos que la varianza del estimador es $0$.

Answer 2

Digamos que$Q$ es imparcial para$\theta^2$, es decir$E(Q) = \theta^2$, entonces debido a la desigualdad de Jensen,

ps

Así que$$\sqrt{ E(Q) } = \theta < E \left( \sqrt{Q} \right)$ está sesgada alta, es decir, sobreestimará$\sqrt{Q}$ en promedio.

Nota : Esta es una desigualdad estricta ($\theta$ not$<$) porque$\leq$ no es una variable aleatoria degenerada y la raíz cuadrada no es una transformación afín.