¿Podría alguien refrescarme la memoria al respecto?
El orden de funcionamiento entre un $\int$ y $\sum_{n\in \mathbb{N}}$ ¿no es siempre intercambiable? Tenga en cuenta que la suma es una suma INFINITA
¿Por qué $\int \sum_{n \in \mathbb{N}} \neq \sum_{n \in \mathbb{N}} \int$
¿Es porque la integral en sí es una suma y el orden de "sumar" realmente importa? (Creo que ahora son cosas relacionadas con el cálculo multivariable)
Es más fácil e instructivo dar un contraejemplo utilizando secuencias: Por ejemplo $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 n^2x^n(1-x)\,dx=1$$ aunque el integrando llegue a cero en cualquier punto de [0,1]. Para entender lo que está pasando aquí, tenga en cuenta que la función en el integrando tiene un gráfico que es un pico alto y delgado cada vez más alto y más delgado como $n\to\infty$ mientras se acerca $x=1$ desde la izquierda.
Tomando las diferencias, puedes realizar fácilmente la secuencia como sumas parciales de una serie, proporcionando así el contraejemplo que buscas. Para ser precisos, consideremos $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\sum_{k=0}^{n-1} \bigl((k+1)^2x^{k+1}(1-x)-k^2x^k(1-x)\bigr)\,dx,$$ que no es más que una forma difícil de escribir el límite anterior.
Correcto: no siempre pueden intercambiarse. Por ejemplo $$ \sum_{n=0}^\infty \int_0^{2\pi} \cos(t+n)\,dt = 0$$ pero $$ \int_0^{2\pi} \left(\sum_{n=0}^\infty \cos(t+n)\right)\,dt $$ ni siquiera existe (la suma nunca converge).
Sin embargo, si todo converge absolutamente es decir, si $$ \sum_n \int |f(n,t)| \,dt \quad\text{or}\quad \int \sum_n |f(n,t)| \,dt $$ existe, entonces el teorema de Fubini garantiza que la suma y la integral se pueden hacer en cualquier orden.
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