Intuición para Picard poco ' teorema s

Question

Poco Picard del teorema es la siguiente: Supongamos $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ es todo. Luego

1) $f$ es constante

2) $f$ es surjective o

3) $f$ es a $\mathbb{C}-\{p\}$ para un punto de $p\in \mathbb{C}$.

Dicho de otra manera, toda una función que pierde 2 puntos en el codominio es en realidad constante.

La función exponencial $f(z) = e^z$, la cual nunca es $0$, muestra que, en general, todos los 3 casos pueden surgir.

Como alguien que sabe un poco de geometría diferencial y topología algebraica, la prueba que me gusta (de hecho, el único recuerdo) es el siguiente: Considere el $X= \mathbb{C}-\{p,q\}$ donde $p$ $q$ son distintos de los números complejos. A continuación, un mapa entero $f:\mathbb{C}\rightarrow X$ ascensores para la universalización de la cobertura $\mathbb{D}(0,1)$ (la unidad de disco alrededor de $0$$\mathbb{C}$)$X$. El ascensor de $f$ es toda una limitada función, y por lo tanto, por el teorema de Liouville, es constante. Esto implica $f$ es constante. $\square$

La parte que es nebuloso, para mí, es la justificación de que la universalización de la cobertura de $X$ (biholomorphic a) de la unidad de disco. Por supuesto, por la uniformización, la universalización de la cobertura es a biholomorphic $\mathbb{C}$, $\mathbb{D}(0,1)$, o $S^2$. Desde $S^2$ es compacto y $X$ no es, no puede ser $S^2$. Curiosamente, si queremos eliminar a un solo punto de $\mathbb{C}$ (que suponemos wlog es$0$), $e^z$ es una cubierta mapa de$\mathbb{C}$$\mathbb{C}-\{0\}$. En otras palabras, la universalización de la cobertura una vez perforado el plano es$\mathbb{C}$, pero la cobertura universal de dos o más pinchados plano es la unidad de disco.

Hay una buena intuición de por qué 2 es crucial número de punciones para que la universalización de la cobertura ya no es biholomorphic a $\mathbb{C}$?

Relatedly (y más agradable, ya que me permitiría evitar el uso de uniformización, que creo que es excesivo para este),

Es el universal que cubre mapa de $\pi:\mathbb{D}(0,1)\rightarrow X$ fácil, ni siquiera posible, de forma explícita escribir?

Por la traducción, rotación y escalamiento, uno no puede, obviamente, supone que $\{p,q\} = \{0,1\}$

Una rápida búsqueda en google muestra la respuesta a la segunda pregunta debe ser "sí", y que $\pi$ puede ser expresada en términos de modular las funciones. Lamentablemente, no sé nada en absoluto acerca de modular las funciones, pero no pude encontrar nada que le dice cómo expresar $\pi$ con modular funciones.

Answer 1

$\mathbb{C} - \{ 0, 1 \}$ puede ser pensado como el modular de la curva de $Y(2) \cong \mathbb{H}/\Gamma(2)$ parametrización de curvas elípticas, junto con una base para su $2$-torsión. Esta parametrización se lleva a un punto de $\lambda \in \mathbb{C} - \{ 0, 1 \}$ a de la curva elíptica $y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)$ junto con la orden de bases $(0, 0), (1, 0)$ (decir) por $2$-torsión. Explícito fórmulas para la cobertura del mapa se puede encontrar, por ejemplo, en Dolgachev de Conferencias sobre las Formas Modulares, clase 9.

Como para la intuición, que supongo que se podría decir lo siguiente: de forma genérica podemos esperar de una estructura hiperbólica. $\mathbb{C}$ no es genérico, ya que tiene una estructura de grupo, y $\mathbb{C} - \{ 0 \}$ tampoco es genérico, ya que también tiene una estructura de grupo, sino $\mathbb{C} - \{ 0, 1 \}$ no tiene ningún evidente la estructura del grupo por lo que podemos esperar comportamiento genérico.