¿Qué suposiciones son necesarias para demostrar que$(ab)c=b(ac)$ implica comutatividad y asociatividad?

Question

La pregunta está en el título: me gustaría saber qué extra hipótesis (si las hubiere), son necesarias para la siguiente derivación que $(a\cdot b)\cdot c=b\cdot(a\cdot c)$ implica conmutatividad, es decir,$a\cdot b=b\cdot a$, y la asociatividad, es decir,$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Si asumo la existencia de una identidad satisfactoria $a\cdot1=a$ todos los $a$ en consideración, a continuación, $$a\cdot b=(a\cdot b)\cdot 1=b\cdot(a\cdot 1)=b\cdot a,$$ así que hemos conmutatividad, y dado conmutatividad, obtenemos $$(a\cdot b)\cdot c=(b\cdot a)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),$$ que es la asociatividad.

Hay estructuras con ningún elemento de identidad tal que $(a\cdot b)\cdot c=b\cdot(a\cdot c)$ todos los $a,b,c$, pero la operación no es conmutativa? Otros axiomas ser utilizada en lugar de una identidad (como, por ejemplo, la cancelación de la ley de $a\cdot c=b\cdot c\implies a=b$)?

Answer 1

Para ampliar Martin Bradenburg comentario de : definir de forma recursiva un Carneiro expresión en $\lbrace a,b \rbrace$ como sigue :

1) $a$ $b$ son en sí mismos Carneiro expresiones.

2) Si $x$ $y$ son Carneiro expresiones, a continuación, $A(x,y)$ es un Carneiro expresión.

3) Cualquier Carneiro expresión puede ser obtenida mediante la aplicación de operaciones 1 y 2 de un número finito de veces.

Por lo tanto, $A(A(A(a,b),a),A(A(a,a),A(b,b)))$ es un ejemplo de un Carneiro expresión. Denotar por $C(a,b)$ el conjunto de todas las expresiones Carneiro en $\lbrace a,b \rbrace$. No hay un único mapa de $d : C(a,b) \to {\mathbb N}$, tal que $d(a)=d(b)=1$ $d(A(x,y))=1+{\sf max}(d(x),d(y))$ para cualquier $x,y\in C(a,b)$ : llamamos a $d(w)$ de la profundidad de $w$, para un Carneiro expresión $w$.

Decir que dos Carneiro expresiones $w_1$ $w_2$ son elementarily equivalente, si hay Carneiros expresiones $x,y,z$ de manera tal que cuando reemplazamos $A(A(x,y),z)$ $A(y,A(x,z))$ en algún lugar de la expansión de la $w_1$ (o $w_2$), a continuación, obtenemos $w_2$ ($w_1$). Decir que dos Carneiro expresiones $w_1$ y $w_2$ son equivalentes si existe una secuencia finita de partida con $w_1$ y terminando con $w_2$, de tal manera que cada término de la secuencia es elementarily equivalente a la siguiente. Esta es una relación de equivalencia, y vamos a denotar por $\sim$.

Decir que un Carneiro expresión se reduce a si si no contiene la subexpresión de la forma $A(A(...,...),...)$. Por inducción en $d(w)$, cualquier Carneiro expresión es equivalente a una única reducido Carneiro expresión, que denotamos por $r(w)$.

Deje $R(a,b)$ denota el conjunto de la reducción de la Carneiro expresiones en $\lbrace a,b \rbrace$. Definir una operación binaria $*$$R(a,b)$$x*y=r(A(x,y))$$x,y\in R(a,b)$.

Entonces, por construcción, esta operación binaria satisface el axioma $(ab)c=a(bc)$, también satisface la cancelación, pero no es conmutativa (de hecho,$a*b \neq b*a$) ni asociativa (de hecho, $(a*b)*a$ $a*(b*a)$ no son iguales, desde la primera se calcula a $A(b,A(a,a))$ y el otro se calcula a $A(a,A(b,a))$. )

Answer 2

Considere matrices con entradas pares modulo$8$. Cualquier producto de tres de tales matrices es cero, pero no tenemos commutativity.