¿Experimenta la Tierra alguna dilatación temporal significativa y medible en el perihelio?

Question

¿Existe una dilatación temporal medible cuando la Tierra alcanza el perihelio? ¿Se puede medir este fenómeno en relación con el movimiento de los planetas exteriores?

Answer 1

Podemos calcular la dilatación del tiempo para un objeto que se mueve en el campo gravitatorio del Sol utilizando la métrica de Schwarzschild. Estrictamente hablando, se trata de una aproximación, ya que el Sol está girando y no es esférico, pero nos dará una respuesta bastante buena.

La métrica de Schwarzschild es (escribiéndola en términos de tiempo propio):

$$ c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - \frac{dr^2}{1 - r_s/r} - r^2d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{1} $$

donde $r_s$ es el radio de Schwarzschild del Sol:

$$ r_s = \frac{2GM_{Sun}}{c^2} $$

En el perihelio y el afelio el movimiento es tangencial por lo que la velocidad radial es nula y por tanto $dr=0$ . También dispondremos nuestras coordenadas para que todo el movimiento sea en el plano ecuatorial, así que $\theta=\pi/2$ y $d\theta=0$ . Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) encontramos que la métrica se simplifica considerablemente a:

$$ c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 d\phi^2 \tag{2} $$

Si la velocidad tangencial es $v$ entonces el ángulo $d\phi$ se movió en un tiempo $dt$ es justo:

$$ d\phi = \omega dt = \frac{v}{r}dt $$

y lo sustituimos en la ecuación (2) para obtener

$$ c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 \left(\frac{v}{r}\right)^2dt^2 $$

que reordenamos para obtener la ecuación de la dilatación del tiempo:

$$ \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{v^2}{c^2}} \tag{3} $$

Según Hoja informativa de la NASA los valores de $v$ y $r$ en el perihelio y el afelio son:

$$\begin{align} r_p &= 1.4709 \times 10^{11} \,m \\ v_p &= 30290 \,m/s \\ r_a &= 1.5210 \times 10^{11} \,m\\ v_a &= 29190 \,m/s \end{align}$$

Y el radio de Schwarzschild del Sol es $r_s \approx 2953$ m. Poniendo estas cifras en nuestra ecuación (3) nos da:

$$\begin{align} d\tau/dt \,\text{perihelion} &= 0.99999998486 \\ d\tau/dt \,\text{aphelion} &= 0.99999998555 \end{align}$$

podemos hacer estas cifras un poco más digeribles expresándolas como tiempo perdido por día, por ejemplo, cuántos segundos al día se retrasan los relojes en la Tierra como resultado de la dilatación del tiempo. Si hacemos esto encontramos:

$$\begin{align} \text{perihelion loss} &= 1.308 \,\text{ms/day} \\ \text{aphelion loss} &= 1.248 \,\text{ms/day} \end{align}$$

Y la diferencia entre ambos es de $60\mu$ s por día. Así que los relojes funcionan alrededor de $60\mu$ s por día más lentamente en el perihelio que en el afelio.

Esto es fácilmente medible en principio, ya que los relojes atómicos tienen la precisión necesaria para medir desplazamientos tan pequeños. Sin embargo, existen dificultades prácticas. La dilatación del tiempo se mide en relación con un observador estacionario fuera de la influencia gravitatoria del Sol, y no podemos poner fácilmente un reloj atómico en algún lugar fuera de la órbita de Plutón para hacer la comparación. Podríamos poner un satélite en una órbita exactamente circular al radio orbital medio de la Tierra, y en ese caso nuestros relojes funcionarían aproximadamente $30\mu$ s por día más rápido que el reloj del satélite en el afelio y la misma cantidad más lenta en el perihelio.

Una rápida nota a pie de página:

Conde Iblis señala que los púlsares constituyen un excelente reloj fuera de la influencia gravitatoria del Sol, y que podemos medir las frecuencias de los púlsares con suficiente precisión para detectar el $60\mu$ s por día entre el perihelio y el afelio. Si alguien tiene una referencia para esto, no dude en editarla en esta respuesta.

Answer 2

El GPS depende de correcciones del calendario de la relatividad general y especial porque los satélites están en un campo gravitatorio más pequeño y corren con una velocidad suficientemente alta.

Dado que un observador en tierra ve los satélites en movimiento con respecto a ellos, la Relatividad Especial predice que deberíamos ver sus relojes funcionando más lentamente (véase la conferencia sobre Relatividad Especial). La Relatividad Especial predice que los relojes atómicos a bordo de los satélites deberían retrasarse con respecto a los relojes en tierra unos 7 microsegundos al día debido a la menor velocidad de tictac por el efecto de dilatación del tiempo de su movimiento relativo.

Además, los satélites se encuentran en órbitas elevadas sobre la Tierra, donde la curvatura del espacio-tiempo debida a la masa terrestre es menor que en la superficie de la Tierra. Una predicción de la relatividad general es que los relojes más cercanos a un objeto masivo parecen funcionar más lentamente que los situados más lejos (véase la conferencia sobre los agujeros negros). Por lo tanto, cuando se ven desde la superficie de la Tierra, los relojes de los satélites parecen funcionar más rápido que los relojes idénticos en tierra. Un cálculo basado en la relatividad general predice que los relojes de cada satélite GPS deberían adelantarse a los de tierra en 45 microsegundos al día.

La combinación de estos dos efectos relativistas significa que los relojes a bordo de cada satélite deberían ir más rápido que los relojes idénticos en tierra en unos 38 microsegundos al día (45-7=38). Esto parece poco, pero la alta precisión que requiere el sistema GPS exige una exactitud de nanosegundos, y 38 microsegundos son 38.000 nanosegundos. Si no se tuvieran en cuenta estos efectos, un punto de navegación basado en la constelación GPS sería falso después de sólo 2 minutos, y los errores en las posiciones globales seguirían acumulándose a un ritmo de unos 10 kilómetros cada día. Todo el sistema sería totalmente inútil para la navegación en muy poco tiempo.

El Dilatación del tiempo - Tierra y Júpiter , debería decirles que se encontrarán las diferencias correspondientes entre el perihelio y el afelio de la tierra.