¿Por qué los contrarios a la izquierda se dan a menudo por colimits ponderados?

Question

Freyd del functor adjunto teorema establece que una continua functor $R: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$ ha dejado adjoint si su dominio $\mathsf{C}$ a nivel local es pequeño y completo, $R$ satisface el conjunto de soluciones condición. Por otra parte, la prueba de las construcciones de la izquierda adjunto como un límite.

Además, sabemos que el si $L$ existe entonces está dado por el Derecho Kan extensión $$L \cong \operatorname{Ran}_R 1_{\mathsf{C}} \cong \int_{c \in \mathsf{C}} c^{\mathsf{D}(-,Rc)},$$ cuya pointwise fórmula es un fin, y, por tanto, de un promedio ponderado de límite.

Sin embargo, parece que un montón de la izquierda adjoints parecen ser dada por colimit fórmulas. Por ejemplo, el inverso de la imagen de la (pre)de las poleas es administrado por un colimit fórmula y también en la respuesta a otra pregunta de la mina, Roland explica que un extremo de la izquierda adjunto a la inversa de la imagen de las poleas (cuando el mapa de espacios es etale) puede ser construido como una colimit así.

También, en el álgebra, la izquierda adjunto a la interna hom (es decir, producto tensor) de (bi)módulos se construye como una coend, que es un colimit.

Hay una razón por la que tantas izquierda adjoints están dadas por la ponderado colimit fórmulas, incluso a pesar de que están a la derecha Kan extensiones, y por lo tanto ponderado límites? Hay un general ponderado colimit o coend fórmula para la izquierda adjoints bajo ciertas circunstancias?

Answer 1

Freyd del Functor Adjunto Teorema establece que si un límite de preservación (aka continua) functor $R : \mathsf{C \to D}$ donde $\mathsf{C}$ a nivel local es pequeño y completo, satisface el conjunto de soluciones condición, entonces es un derecho adjuntos. En mi opinión, la principal condición es la continuidad. Esto se pone de relieve por ejemplo, el posets, toposes, y, más particularmente, de la doble declaración con respecto a la izquierda adjoints) localmente presentable categorías.

A la izquierda adjunto a preservar colimits. Para, por ejemplo, localmente presentable categorías, que es todo lo que necesita hacer para ser un adjunto a la izquierda. En general, desde colimits conmuta con cada uno de los otros, functors definido por colimits son un lugar natural para buscar a la izquierda adjoints. (Doblemente, por derecho adjoints.) Por el contrario, una razón por qué la izquierda adjunto conserva todos colimits puede ser debido a que es en sí mismo un colimit, por lo que es natural preguntarse si la izquierda adjuntos pueden ser reexpresado como un colimit. Como un ejemplo simple, como $\mathbf{Set}$ a nivel local es presentable, toda la izquierda adjoint $\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ es un colimit. Desde $X\times - : \mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ es un adjunto a la izquierda, también es expresable como una colimit, es decir,$\coprod_{x\in X} -$.

Answer 2

Como comentario general, se tiende a olvidar que muchas adjoints puede ser calculada como co/límites porque ellos son colimits :-) además, muchos de los functors sean de izquierda o derecha Kan extensión, ya que se definen entre el diagrama de categorías, y entre estos muchos Kan extensiones son pointwise. Así que, de nuevo, son co/límites por la bien conocida fórmula.

Ahora un menor comentario sobre un detalle que mencionas:

Hay una razón por la que tantas izquierda adjoints están dadas por colimit fórmulas, aunque parece que deben ser dadas por la ponderado de los límites?

Tan pronto como su functors son entre localmente categorías pequeñas, no hay ninguna diferencia entre el peso y los cónicos co/límites: esto es debido a que existe "una categoría de elementos" construcción $^{\cal C}\!\!\int_W\to {\cal C}$ para un functor $W : {\cal C}\to \bf Set$ [1] que le permite escribir (decir) de un promedio ponderado de colimit $W\cdot F$ como una cónica colimit sobre la categoría de $^{\cal C}\!\!\int_W$. Usted apreciar esto en la fórmula para pointwise Kan extensiones: $$ \text{Lan}_GF\cong \underset{(G\downarrow x)}{\text{colim }} Fc, $$ y una doble fórmula tiene en el derecho. Kan extensiones son colimit ponderado en la functors $W=\hom_{\cal C}(G,\bullet)$, y coma categorías son precisamente las categorías de elementos de tal functors. Así, el círculo se cierra, como el derecho Kan extensión de dar la contigüidad $F\dashv \text{Ran}_F1$ se expresa como un límite (el opuesto) una coma de la categoría.

[1] Como un aparte, esto es en su propio derecho, de un promedio ponderado de limitar o laxa límite, pensar en ello!