¿Cómo puedo mostrar que$\sqrt{97 +56\sqrt3}$ se reduce a$7 +4\sqrt3?$. Sin saber inticialmente que se reduce a ese valor.
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Si sospecha que$\sqrt{97+56\sqrt3}$ (o similar) equivale a algo como$a+\sqrt b$ con$a$,% #% Tendrás que tener$b$ y$$97+56\sqrt 3=a^2+b+2a\sqrt b.$. Así,$a^2+b=97$. Por lo tanto,$2a\sqrt b=56\sqrt3$ y$a^2b=28^2\times 3=2352$ son las soluciones de la cuadrática$a^2$ $ Las soluciones son$b$ y$$x^2-97x+2352=0.$. Entonces$x=48$ como ese es el que es un cuadrado, y$x=49$. Entonce
lhf
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Wikipedia describe un método sencillo para escribir $$ \ sqrt {a b \ sqrt {c} \} = \ sqrt {d} \ sqrt {e} $$ con $$ d = \ frac {a \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2c}} {2}, \ qquad e = \ frac {a - \ sqrt {a ^ 2-b} 2c}} {2} $$ Esto funciona iff$a^2 - b^2c$ es un cuadrado.
Para$\sqrt{97 +56\sqrt3}$ tenemos$a^2 - b^2c=1$ y así $$ \ sqrt {97 56 \ sqrt3} = \ sqrt {49} \ sqrt {48} = 7 4 \ sqrt 3 $$
Jaideep Khare
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Misha
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Mientras que la aceptación de la solución está bien si usted está dispuesto a resolver una ecuación cuadrática, es la pena el desarrollo de la teoría para evitar esto por dos razones:
- Para ahorrar esfuerzo empleado en la resolución de ecuaciones cuadráticas, reemplazándolo por el esfuerzo dedicado a la realización de estas diferentes y emocionantes cálculos en su lugar :)
- Así que también podemos averiguar algo como $\sqrt[3]{1351 + 780 \sqrt{3}}$, donde tendríamos que resolver un cúbicos ecuación lugar, y quién sabe cómo hacer esto?
La teoría es que si $(a + b \sqrt 3)^2 = 97 + 56 \sqrt 3$, entonces nosotros también ha $(a - b \sqrt{3})^2 = 97 - 56 \sqrt 3$. (Esto se puede comprobar mediante la comparación de las expansiones. En última instancia, proviene del hecho de que $\sqrt3$ $-\sqrt3$ "simétrico" tan lejos como los números racionales se refiere: usted no puede distinguirlos por sus propiedades algebraicas.)
La multiplicación de estos dos ecuaciones y la aplicación de una diferencia de cuadrados, obtenemos $$(a + b\sqrt 3)^2 (a - b\sqrt 3)^2 = (97 + 56 \sqrt3)(97 - 56 \sqrt 3) \implies (a^2 - 3b^2)^2 = 97^2 - 3 \cdot 56^2 = 1.$$
Así que ahora tenemos tres ecuaciones para$a$$b$, no dos: \begin{align} a^2 + 3b^2 &= 97 \\ 2ab &= 56 \\ a^2 - 3b^2 &= \pm1. \end{align} Los dos primeros provienen de la comparación de los coeficientes en $(a + b \sqrt 3)^2 = 97 + 56 \sqrt 3$, como antes. La tercera viene del hecho de que si $(a^2 - 3b^2)^2 = 1$, entonces cualquiera de las $a^2 - 3b^2 = 1$ o $a^2 - 3b^2 = -1$.
Si tenemos en cuenta $a^2 - 3b^2 = 1$ como la primera posibilidad, a continuación, junto con $a^2 + 3b^2 = 97$ tenemos dos lineal de ecuaciones en $a^2$$b^2$. Sumándolas, se obtiene $2a^2 = 98$, lo $a^2 = 49$, e $a = \pm 7$. Restando ellos, obtenemos $6b^2 = 96$, lo $b^2 = 16$, e $b = \pm 4$. Desde $2ab = 56$, $a$ y $b$ son ambos positivos o ambos negativos, con lo que conseguimos $7 + 4\sqrt3$ $-7 - 4\sqrt3$ como nuestros dos soluciones (válidos).
El segundo caso, cuando se $a^2 - 3b^2 = -1$, nos dice $2a^2 = 96$$6b^2 = 98$, lo cual no nos da una solución racional. (En realidad, nos dice que $a = 4 \sqrt 3$$b = \frac{7}{\sqrt 3}$, lo que nos da la misma respuesta en un "hacia atrás".) Pero podemos pasar por alto: ya obtuvimos una respuesta.
