Encuentre un ejemplo de extensión de grado 100 de $\Bbb Q(\zeta_5)$ y $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$ .

Question

Estoy intentando encontrar un ejemplo de extensión de grado-100 de $\Bbb Q(\zeta_5)$ y un ejemplo de extensión de grado-100 de $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$ .

Para el ejemplo de la extensión de grado 100 de $\Bbb Q(\sqrt[3]{2}),$ Sospecho que $\Bbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[100]{-3})$ es un ejemplo. Desde $3$ y $100$ son coprimos, eso significa que puedo demostrar $[\Bbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[100]{-3}):\Bbb Q]$ es como mínimo $300$ y como máximo $300.$ Por lo tanto $[\Bbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[100]{-3}):\Bbb Q]=300.$ Entonces, por la ley de la torre, problema resuelto.

Para el ejemplo de la extensión de grado 100 de $\Bbb Q(\zeta_5)$ Realmente no sé cómo encontrar (y probar) un ejemplo así.

Nota: No he aprendido la Teoría de Galois. Así que por favor no use that.Thanks tanto.

Answer 1

Basándome en mis comentarios, doy la siguiente respuesta. Utiliza sólo la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos en $\mathbb{Q}[x]$ y evita el teorema de Dedekind mencionado en los comentarios.

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Sea $\zeta_{n} = e^{2\pi i/n}$ . Entonces $\zeta_{n}$ es una primitiva $n$ raíz de la unidad hay $\phi(n)$ tan primitivo $n$ raíces de la unidad dadas por $\zeta_{n}^{r}$ donde $1 \leq r \leq n$ es y $r$ es coprimo de $n$ . El polinomio $$\Phi_{n}(x) = \prod_{1 \leq r \leq n, (r, n) = 1}(x - \zeta_{n}^{r})$$ tiene coeficientes enteros y es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ para que $[\mathbb{Q}(\zeta_{n}):\mathbb{Q}] = \phi(n)$ .

Siguiente $m, n$ sean enteros positivos coprimos entre sí. Entonces tenemos enteros $a, b$ tal que $am + bn = 1$ y por lo tanto $$\zeta_{mn} = \zeta_{n}^{a}\zeta_{m}^{b}$$ y claramente $$\zeta_{m} = \zeta_{mn}^{n}, \zeta_{n} = \zeta_{mn}^{m}$$ para que $$\mathbb{Q}(\zeta_{mn}) = \mathbb{Q}(\zeta_{m}, \zeta_{n})$$ Y entonces $$[\mathbb{Q}(\zeta_{mn}): \mathbb{Q}] = \phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$$ Pongamos $m = 5, n = 101$ para que $\phi(m) = 4, \phi(n) = 100, \phi(mn) = 400$ . Ahora tenemos $$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\zeta_{m})\subset\mathbb{Q}(\zeta_{mn})$$ y $$[\mathbb{Q}(\zeta_{mn}):\mathbb{Q}(\zeta_{m})] = \frac{[\mathbb{Q}(\zeta_{mn}):\mathbb{Q}]}{[\mathbb{Q}(\zeta_{m}):\mathbb{Q}]} = \frac{\phi(mn)}{\phi(m)} = \phi(n)$$ para que $\mathbb{Q}(\zeta_{mn}) = \mathbb{Q}(\zeta_{505})$ es nuestra extensión de campo deseada.

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Del argumento anterior se deduce que si $m, n$ son coprimos entre sí, entonces $$\mathbb{Q} (\zeta_{mn}) = \mathbb{Q}(\zeta_{m},\zeta_{n})=\mathbb{Q} (\zeta_{n}) (\zeta_{m}) $$ es una extensión de campo de $\mathbb{Q} (\zeta_{n}) $ de grado $\phi(m) $ . Además $\zeta_{m} $ satisface un polinomio $\Phi_{m} (x) \in \mathbb{Q} [x] \subset\mathbb{Q} (\zeta_{n}) [x] $ de grado $\phi(m) $ . De ello se deduce que el polinomio $\Phi_{m} (x) $ es irreducible en $\mathbb{Q} (\zeta_{n}) [x] $ . Así, partiendo de la irreductibilidad de $\Phi_{n} (x) $ en $\mathbb{Q} [x] $ y utilizando el teorema sobre grados de una torre de extensiones de campo hemos demostrado el teorema de Dedekind referido al principio del post:

Teorema : Si $m, n$ son enteros positivos coprimos entre sí, entonces el polinomio ciclotómico $\Phi_{m} (x) $ es irreducible en $\mathbb{Q} (\zeta_{n}) [x] $ .