¿Cómo encontramos la forma cerrada de $\int_{0}^{1}{\sqrt{x^n\over 1-x^m}}\mathrm dx=F(n,m)?$

Question

Considera esta integral

Motivado por esta pregunta

$$\int_{0}^{1}{\sqrt{x^n\over 1-x^m}}\mathrm dx=F(n,m)\tag1$$ Dónde $n\ge -1$ y $m\ge 1

Observamos los siguientes valores para $F(n,m):

$$F(-1,1)=\pi$$

$$F(1,1)={\pi\over 2}$$

$$F(1,3)={\pi\over 3}$$

Para $k$ entero, ¿cuáles son otros valores de $n$ y $m$ que darán ${\pi\over k}$?

Supongo que para responder a esta pregunta tenemos que encontrar la forma cerrada para $(1)$

Answer 1

Pista. Esta es la función beta de Euler disfrazada, mediante el cambio de variable $$u=x^m, \quad x=u^{1/m}, \quad dx=\frac1m\cdot u^{1/m-1}du, $$ se obtiene, para $n\ge-1,\, m>0,$

$$ \begin{align} \int_{0}^{1}{\sqrt{x^n\over 1-x^m}}\:\mathrm dx&=\int_{0}^{1}(1-u)^{-\large\frac12}u^{\large\frac{n+2}{2m}-1}\:du=\frac{\sqrt{\pi }\:\Gamma \left(\frac{n+2}{2m}\right)}{m\: \Gamma \left(\frac{m+n+2}{2 m}\right)},\quad \end{align} $$

entonces, mediante las propiedades de la función gamma, uno puede simplificar la expresión anterior.

Answer 2

Mathematica dice:

$$ \text{ConditionalExpression}\left[\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{m+2}{2 n}\right)}{n \Gamma \left(\frac{m+n+2}{2 n}\right)},\Re(n)>0\land \Re(m)>-2\right] $$