$p^{th}$ las raíces de un campo con características $p$

Question

Este es el problema 10.9 del libro "Corrección de Errores y Códigos de Campos Finitos por Oliver Pretzel".

La Pregunta:

Demostrar que en un campo de característica $p$, cualquier elemento $\alpha$ tiene más de uno $p$-ésima raíz de $\beta$ (es decir, un elemento $\beta\in F$$\beta^p = \alpha$). Muestran, además, que el si $F$ es finito, entonces cada elemento tiene exactamente una $p$-ésima raíz

Este mi intento en la segunda parte de la pregunta. A partir de Fermat poco teorema $\beta^{{p^n}-1} = 1$ donde $p^n$ es el tamaño del campo. Ahora multiplicando ambos lados por $\beta$ obtenemos $\beta^{p^n} = \beta$. Si no es $p$ elementos, a continuación, $n=1$ y podemos ver que esto es cierto para cualquier elemento no nulo. Para el caso general, tomar las $p$-ésima raíz de ambos lados $\beta^{p^{n-1}} = \beta^{1/p}$ y sabemos de la multiplicación de las propiedades de un campo, si $\beta$ es distinto de cero de los elementos del campo, a continuación, cualquier múltiplo será.

La primera parte de la pregunta, no estoy seguro de por dónde empezar. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Estamos en busca de una raíz de $x^p-\alpha$; la formal derivada de este polinomio es cero, lo que significa que el $x^p-\alpha$ ha repetido las raíces.

De hecho, si $K$ es una extensión de $F$ donde el polinomio tiene una raíz $\beta$, tenemos $$ (x-\beta) ^ p = x ^ p-\beta^p=x^p-\alpha $$ que muestra la raíz es única.

Para un campo finito $F$, el mapa $$ \alpha\mapsto\alpha^p $$ es un homomorfismo del campo, así que es inyectiva. Aspecto finito rinde suprayectividad.

Answer 2

Si $a^p = b^p$ y $a^p-b^p = (a-b)^p=0$ y dado que usted está en un campo implica $a=b$. Esto demuestra que para un campo de característica $p$ el mapa $a \to a^p$ es siempre inyectiva, y un mapa inyectivo de un finito sistema a sí mismo automáticamente es biyectiva.