Que $A$ ser una matriz simétrica de orden $n$ y $A^2=0$. Es necesariamente cierto que $A=0$

Question

Deje $A$ ser una matriz simétrica de orden $n$$A^2=0$ . Es necesariamente cierto que $A=0$ .

Mi planteamiento :

Traté de experimentar con algunos $2\times 2$ matrices pero nunca conseguido en cualquier momento .

Ahora, Wikipedia dice que existe una matriz diagonal $D$ ortogonal de la matriz $Q$ tal que $D=Q^t A Q$ . Por lo $D^2=Q^t A^2 Q=0$ . Como $D$ es la matriz diagonal con entrada real obtenemos $D=0$ .

Por lo $A=QDQ^t =0 $ Creo que mi prueba es correcta . Solo quiero saber si hay alguna manera de probar esto sin mencionar los grandes teoremas o en más elementales . El problema es citado a partir de una parte de la web de texto que sólo se utiliza primaria definiciones como lo que una matriz es simétrica . Así que tengo curiosidad por ver si hay una escuela primaria en la solución del problema .

Answer 1

Una manera fácil y natural para hacer esto es utilizando los productos de interior. Tenga en cuenta que si luego, $A^2v=0$ $$0=\langle v,A^2v\rangle=\langle A^Tv, Av\rangle=\langle Av,Av\rangle=\|Av\|^2$$ which implies $ Av = 0 $. In particular, if $A ^ 2 = 0 $, we get $ Av = 0 $ for all $v $ and so $A = 0$.

No como la lengua de los productos interno y quiere algo enteramente en el lenguaje elemental de matrices, utilizar la definición de $\langle v,w\rangle=v^Tw$. Por lo que la ecuación anterior se convierte en $$0=v^TA^2v=v^TA^TAv=(Av)^TAv$$ and now you observe that for any vector $w $, $w % ^ Tw $ is just the sum of the squares of the entries of $w $ and so can only be $0 $ if $w = 0$.

Answer 2

Si $A \neq 0$, entonces hay un $1 \leq i,j \leq n$ asegurando que si $a_{ij}$ es el elemento de $(i,j)$ $A$ y $a_{ij} \neq 0$. El % de matriz $A$es por supuesto simétrica; así $a_{ij} = a_{ji}$. Si $b_{ij}$ es el elemento $(i,j)$ $A^{2}$, entonces el $b_{ij} \geq a_{ij}^{2} > 0$.