¿Converge la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\cos(n))}{n}$?

Question

Estuve haciendo algunos ejercicios y éste sólo me sorprendió. Tuve que estudiar la convergencia de esta serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\cos(n))}{n}$$

He probado un montón de cosas diferentes, pero conseguí nada. ¿Alguien por favor me puede ayudar con una idea o una pista para empezar?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que es más práctico ampliar $\sin\cos(x)$ como una serie del coseno de Fourier. Tenemos

%#% $ #% donde el % de coeficientes $$\sin\cos(x) = 2\sum_{m\geq 0}(-1)^m J_{2m+1}(1) \cos((2m+1)x) $, dependiendo de una función de Bessel modificada de primera clase, tiene un decaimiento exponencial. En la otra mano $J_{2m+1}(1)$ $ para cualquier $$ \sum_{n\geq 1}\frac{\cos(nx)}{n}=-\log\left|2\sin\frac{x}{2}\right|$ y $x\not\in 2\pi\mathbb{Z}$ no pueden ser demasiado grande para un pequeño $-\log\left|2\sin\frac{x}{2}\right|$ desde $x\in\mathbb{N}$ tiene una medida de irracionalidad finito. Explotando el decaimiento exponencial de los coeficientes anteriores se puede concluir que la serie original es convergente.

Answer 2

Aquí es una alternativa a Jack D'Aurizio la respuesta, que curiosamente también implica la irracionalidad medida de $\pi$ ( $\mu$ ). Supongamos $f$ $2\pi$- periódico función suave, de tal manera que $\int_0^{2\pi}f(x)\;dx=0$. Vamos $$ s_n=\frac1n\sum_{k=1}^n f(k). $$ Por el Koksma–Hlawka la desigualdad y esta obligado, $$ |s_n|=O(n^{-1/(\mu-1)+\epsilon}) $$ para cualquier $\epsilon>0$. En particular, la elección de $\epsilon<\frac1{2(\mu-1)}$,$|s_n|=O(n^{-\epsilon})$. El uso de sumación por partes, $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N\frac{f(n)}n &=&s_N+\sum_{n=1}^{N-1}ns_n\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=&s_N+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{s_n}{n+1}. \end{eqnarray*}$$ Lo anterior implica $s_N\to0$ y la última suma es absolutamente convergente, por lo que el LHS converge. En particular, la configuración de $f(x)=\sin(\cos(x))$, la serie en cuestión converge.