¿Alguien puede proporcionar la definición formal de la recta tangente a una curva?

Question

Recientemente estaba explicando la diferenciación desde primeros principios a un colega y cómo la diferenciación se puede utilizar para obtener la recta tangente a una curva en cualquier punto. Mientras hacía esto, mi colega me respondió con un argumento para el cual no tenía una respuesta satisfactoria.

Estaba describiendo la recta tangente a una curva en un punto específico de la misma manera que me enseñaron en la escuela, que es una línea que simplemente toca la curva en ese punto y tiene una pendiente igual a la derivada de la curva en ese punto. Entonces mi colega dijo que para una curva cúbica, la línea puede tocar la curva en otros puntos, así que expliqué el concepto nuevamente pero restringido a un vecindario alrededor del punto en cuestión.

Luego, él regresó con el argumento de esta definición cuando la "curva" en cuestión es una línea recta. Argumentó que en este caso, la definición de la recta tangente como "simplemente tocando la curva en ese punto" simplemente no es cierta, ya que coincide con la línea misma y por lo tanto toca en todos los puntos.

No tuve respuesta a este argumento en absoluto y tuve que admitir que debería haber definido la tangente como la línea que pasa a través del punto en la curva que tiene una pendiente igual a la derivada en ese punto.

Todo este intercambio me hizo sentir bastante estúpido ya que tengo un doctorado en Matemáticas y no pude definir adecuadamente una tangente sin usar la noción de cálculo diferencial, y sin embargo, cuando me enseñaron cálculo en la escuela, se mostró como una herramienta para calcular la pendiente de una recta tangente y por lo tanto se convierte en un argumento circular.

He pensado seriamente en esto y no encuentro ningún argumento para rebatir la observación de mi colega sobre la inadeucuación de la definición informal en el caso de que la curva en cuestión ya sea una línea recta.

Además, si vuelvo a hacer esto en el futuro con otro colega, ¿cómo puedo evitar la vergüenza nuevamente? ¿En qué punto me equivoqué aquí con mis explicaciones? ¿Debería haber evitado completamente la vista geométrica y haber ido con el concepto de tasa de cambios en su lugar? No soy un profesor pero he enseñado cálculo desde primeros principios a mucha gente a lo largo de los años, así que estaría muy interesado en cómo se debe hacer correctamente.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Esta es una pregunta más amplia de lo que parece, que involucra tanto matemáticas (por ejemplo, qué es una curva, qué estructura tiene el espacio ambiente) como pedagogía (por ejemplo, cuál es la mejor definición que transmita un concepto de cálculo diferencial, qué equilibrio entre concreción y generalidad es más adecuado para un propósito dado).

• Si una curva es el gráfico en $\Reals^{2}$ de una función real diferenciable de una variable, entonces argumentaría que la definición "correcta" de la recta tangente al gráfico en un punto $x_{0}$ es la recta con ecuación $$ y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}) $$ que pasa por $\bigl(x_{0}, f(x_{0})\bigr)$ y tiene pendiente $f'(x_{0})$. (Con modificaciones menores, el mismo concepto maneja la imagen de un camino paramétrico regular, es decir, una aplicación diferenciable de un intervalo abierto en $\Reals^{2}$ cuya velocidad no se anula).

Bajo esta definición, el hecho de que "(sujeto a detalles finos) la recta tangente es el límite de las rectas secantes" es una expresión geométrica de la definición en lugar de un teorema expresando la equivalencia de una definición analítica y una geométrica de "tangencia".

• Si una curva plana es un conjunto algebraico, es decir, un locus de ceros no discreto de un polinomio no constante, entonces se podría investigar la tangencia en $(x_{0}, y_{0})$ expandiendo el polinomio definitorio de la curva en potencias de $x - x_{0}$ y $y - y_{0}$, declarando que la curva es suave en $(x_{0}, y_{0})$ si la expansión resultante tiene una parte lineal no nula, y definiendo la recta tangente como el locus de ceros de esa parte lineal. (Consideraciones similares se aplican a curvas analíticas, loci de ceros no discretos de funciones analíticas no constantes.)

Por ejemplo, si la curva tiene la ecuación $x^{3} - y = 0$, el teorema binomial da \begin{align*} 0 &= x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2}(x - x_{0}) + 3x_{0}(x - x_{0})^{2} + (x - x_{0})^{3} - \bigl[(y - y_{0}) + y_{0}\bigr] \\ &= \bigl[3x_{0}^{2}(x - x_{0}) - (y - x_{0}^{3})\bigr] + 3x_{0}(x - x_{0})^{2} + (x - x_{0})^{3}. \end{align*} Los términos entre corchetes en la segunda línea son la parte lineal, y la recta tangente en $(x_{0}, y_{0}) = (x_{0}, x_{0}^{3})$ tiene la ecuación $$ 0 = 3x_{0}^{2}(x - x_{0}) - (y - x_{0}^{3}),\quad\text{o}\quad y = x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2}(x - x_{0}), $$ "como se esperaba".

• En la "geometría superior", el "espacio tangente" suele definirse intrínsecamente. Se determina el comportamiento del espacio tangente bajo morfismos, y se define el "espacio tangente" de la imagen de un morfismo como la imagen del espacio tangente intrínseco en el sentido apropiado.

En el estudio de variedades suaves es común utilizar operadores diferenciales (también conocidos como derivaciones en el álgebra de funciones suaves). En geometría algebraica es común utilizar el ideal $I$ de funciones que se anulan en $x_{0}$, y definir el espacio tangente como el dual del cociente $I/I^{2}$. Los ejemplos anteriores son, respectivamente, articulaciones a nivel de cálculo de estos dos puntos de vista.

Sin embargo, estos no son los niveles adecuados de generalidad para imponer a los estudiantes de cálculo. Personalmente me adhiero a la definición analítica, y de hecho usualmente asumo que las "curvas" son continuamente diferenciables.

Answer 2

Para una noción más puramente geométrica de lo que es una tangente, imagino una línea $T$ a través de un punto $P$ en una curva tal que para cualquier cono doble dado (por delgada que sea) con $T$ como su eje y $P$ como su punto ápice, existe un vecindario lo suficientemente pequeño $N$ de $P$ tal que la parte de la curva dentro de ese vecindario está completamente contenida en ese cono doble. Entonces $T$ es tangente a la curva en $P$.

Esta definición imita la idea de que la tangente es una aproximación lineal y se asemeja a la curva en vecindarios pequeños del punto.

Answer 3

Aunque esta no es la definición más satisfactoria para un primer encuentro con la idea de una 'línea tangente', podrías evadir todos los problemas al definir una línea tangente como la mejor aproximación lineal a una función $f$ cerca de un punto $P$. Más formalmente, una recta $L=L(x)$ que pasa por $P\big(a,f(a)\big)$ es una línea tangente al gráfico de $f$ en $P$ dado que para cualquier otra línea $K=K(x)$ que pase por $P$, existe un $\delta\gt0$ tal que para todo $x$: $$|x-a|\lt\delta \implies \big|f(x)-L(x)\big|\leqslant\big|f(x)-K(x)\big|.$$ Consulta el artículo Qué es una Línea Tangente Cuando no es un Límite, de Irl C. Bivens.

Answer 4

Tu colega podría haber estado explotando la frase ambigua solo toca: si por eso quieres decir que la recta tangente toca la curva solo en un punto, entonces su argumento tiene sentido; sin embargo, si lo interpretas como que la recta tangente roza la curva en el punto de tangencia, entonces esto no excluye que la recta toque la curva en otros (o incluso todos) los puntos. Elimina la palabra solo y no deberías tener problemas con tu definición informal.

Answer 5

Si tienes una curva y un punto $P$ en ella, podemos tomar una secante $L_{PQ}$ que es una línea que pasa por $P$ y $Q.

Entonces $d(P,Q)\geq0$. Si la curva está acotada, entonces existe algún $C>0$ tal que para cada $P$ en la curva, y para cada real $C>\varepsilon>0$ existe algún $Q$ tal que la secante $L_{PQ}$ tiene $d(P,Q)=\varepsilon$. Así, definimos $L_\intercal (P)$ como la tangente en el punto $P$ con $\varepsilon=0.

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nota que estoy usando conceptos elementales que pueden ser claros para la escuela secundaria. La constante $C$ es porque si tienes un círculo, no puedes encontrar una secante en $P$ con $d(P,Q)>2r$ donde $r$ es el radio del círculo.