¿Cuáles son los grupos generados por dos ciclos?

Question

Deje G generado por dos ciclos. Una ihas orden $n$ y el % de puntos $\{1,\ldots,n\}$y el otro tiene orden $n-1$ y mueve el % de puntos $\{1,\ldots,n-1\}$. Encontré siguiendo ejemplos: $$\begin{array}{ccl} n = 3 &:& S_3 \\ n = 4 &:& S_4 \\ n = 5 &:& S_5,\ C_5 \rtimes C_4\\ n = 6 &:& S_5,\ S_6 \\ n = 7 &:& S_7,\ C_7 \rtimes C_6\\ n = 8 &:& S_8,\ \operatorname{PSL}(3,2) \rtimes C_2\\ n = 9 &:& S_9 \\ n = 10 &:& S_{10} \\ n = 11 &:& S_{11},\ C_{11} \rtimes C_{10} \\ \end{matriz} $$

¿Hay una manera de predecir la estructura de estos grupos arbitrarios $n$?

Editar Cambio $n=6 :S_5$ $PGL(2,5)$ acuerdo con el artículo mencionado en la respuesta de @Geoff Robinson.

Answer 1

Con la elección particular $\alpha = (12 \ldots n)$ $\beta = (12\ldots n-1)$ siempre $\langle \alpha, \beta \rangle = S_{n}$ como una de las posibilidades.Esto porque $\langle \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \alpha \beta^{-1}\rangle = \langle (12 \ldots n), ( n-1 n) \rangle.$ Es un estándar de hecho, demostrado en muchos de los textos, que $S_{n} = \langle (12 \ldots n), (12) \rangle,$ y es sólo una cuestión de reetiquetado letras para ver que $S_{n} = \langle (12 \ldots n), ( n-1 n) \rangle.$ Equivalentemente, conjugado $\alpha$ $\alpha \beta^{-1}$ por la permutación $\sigma$ que los intercambios $j$ $n+1-j$ $1 \leq j \leq n$ ( y correcciones $\frac{n+1}{2}$ si $n$ es impar).

Posteriormente edita: Desde su grupo contiene una permutación impar y es doblemente transitiva, creo que las posibilidades (aparte de $S_{n}$) están incluidos en los grupos enumerados en el Teorema 1.2 de https://arxiv.org/pdf/1209.5169.pdf ( por G. A. Jones). Tenga en cuenta que doblemente grupos transitivas son primitivas ( aunque primitivo grupos no siempre son doblemente transitiva). Tenga en cuenta que es extremadamente raro en los ejemplos dados en este artículo que el grupo contiene un $n$-ciclo y un $n-1$-ciclo.