Cuadratura de ambos lados de una desigualdad de signos opuestos

Question

Puede alguien explicarme por qué el álgebra no funciona para esta desigualdad

$\sqrt{1-y}\gt-\frac{1}{2} $.
$1-y\gt\frac{1}{4} $.
$y\lt\frac{3}{4} $.
Sé que debería ser $y \lt 1$ puesto que la RHS es $\ge0$

Answer 1

A la hora de resolver las desigualdades, que sólo se aplican reversible transformaciones de las ecuaciones, o cuando se aplica irreversibles transformaciones, a hacerlo con mucho cuidado.

Cuando la resolución de igualdades, a veces puede salirse con la irreversibles transformaciones. Por ejemplo, cuando vas de $$\sqrt{1-y} = -\frac{1}{2}$$ a $$1-y = \frac{1}{4}$$ usted está implícitamente argumentando de la siguiente manera: "yo sé que la función de $f(x)=x^2$ está bien definido, por lo que si $g(y) = h(y)$, también se $f(g(y)) = f(h(y))$. Por lo tanto, cada solución de la ecuación en mi primera línea también será una solución en mi segunda línea. Pero! También sé que $f$ no es uno a uno (inyectiva) por lo que no es necesariamente cierto que cada solución de la segunda ecuación es también una solución de la ecuación original. Así que será mejor que me cheque a fin de que todas las soluciones son realmente válidos para el problema original."

Las cosas son mucho más sutiles con las desigualdades. Hay dos cosas mal con su cálculo. En primer lugar, es cierto que si $g(y) > h(y)$, y tanto $g(y)$ $h(y)$ son positivos,$g(y)^2 > h(y)^2$. La segunda condición es crítica: por ejemplo, " $1 > -2$ pero $1\not > 4.$

Así que ya elevarlo al cuadrado ambos lados de la desigualdad no es válido. Pero hay un segundo problema: supongamos que estaban tratando de resolver $$\sqrt{1-y} > \frac{1}{2}$$ de modo que el cuadrado ambos lados tiene realmente un sentido. Si usted escribe $$1-y > \frac{1}{4}$$ de nuevo, argumentando que "si la desigualdad original se mantiene, entonces la segunda desigualdad también debe tener. Por lo tanto, el conjunto de $y$ que satisfacer mi original de la desigualdad debe ser un subconjunto de aquellos que satisfacen mi segunda". Una vez que determine que la segunda desigualdad se satisface siempre que $y > \frac{3}{4}$, usted todavía tiene que volver atrás y comprobar cual de estos $y$ realmente satisfacen la primera desigualdad.

Answer 2

Puede cuadrado ambos lados de una desigualdad sólo si ambos son positivos. Si ambos son negativos puede cuadrado, pero se gira la dirección de la desigualdad. En tu caso no es cierto.

Answer 3

Esta es la diferencia entre equivalencia y la implicación.

Usted puede hacer las operaciones que preservar la equivalencia, que suma, resta, división y multiplicación de funciones monótonas ¿

$$x+1 = x^2+2x\Leftrightarrow\\0 = x^2+x-1$$

A continuación, todas las soluciones se conservan y no soluciones nuevas se agregan.

Implicación en el otro lado es sólo una manera. Estamos seguros de que no pierdan de soluciones, pero no estoy seguro de no introducir nuevos. El cuadrado es una operación de ese tipo. De hecho, para los números complejos ajustar automáticamente se duplica el número de soluciones de polinomios.

Answer 4

Sólo podemos plaza si ambos lados son no negativos.

Considerar el intervalo de $x > -\frac{1}{2}$ es decir $(-\frac{1}{2},\infty)$. Debemos dividir esto en $(-\frac{1}{2},0)$ $[0,\infty)$

A continuación, separamos la desigualdad en 2 casos:

a) Ambos lados son negativos: $-\frac{1}{2} < \sqrt{1-x} < 0 $ ... es decir, la magnitud es menor que $\frac{1}{2}$

b) los dos lados son no-negativos: $\sqrt{1-x} \geq 0$

a) hipotéticamente se expande a:

$\frac{1}{2} > -\sqrt{1-x} > 0 $ ... hipotéticamente, en este caso, $-\sqrt{1-x}$ ya es "positivo" (por el caso de la asunción)

$(\frac{1}{2})^2 > (-\sqrt{1-x})^2 > (0)^2 $ ... ahora es "legal" a la plaza de los dos lados, ya que son "positivas"

$\frac{1}{4} > (1-x) > (0) $ ... y así sucesivamente.

(Técnicamente esto es una farsa caso, como $\sqrt{1-x}$ no puede ser negativo, pero lo que yo quería demostrar que estaba a la lógica ... si el dado eran diferentes y la desigualdad tiene un válido 'negativa' caso)

para b) $\sqrt{1-x} \geq 0$

Desde ambos lados ya no negativo, es legal la plaza de los dos lados.

$(1-x) \geq (0)^2$ ... pero sólo para $1-x \geq 0$

$(1-x) \geq (0)$

$(x-1) \leq 0$

$x \leq 1$

En este caso sólo se reafirma la condición, pero espero llegar a donde se debe conducir si el dado eran diferentes.

De nuevo, espero que lo he hecho lo suficientemente claro, el 'negativo' en este caso dada la desigualdad no da ninguna solución válida.

Espero que este recurso sería de ayuda: https://www.math.purdue.edu/files/academic/courses/2007fall/MA301/MA301Ch2.pdf