Probabilidad de que el producto de las medias sea mayor que el producto del máximo y el mínimo

Question

Dado $X_1,...,X_n \stackrel{iid}{\sim} \text{Unif}(a,b)$ ¿Qué es? $$\mathbb{P}\left[\frac{\sum x_i}{\sum \frac{1}{x_i}} \geq \max(x_i) \cdot \min(x_i)\right].$$ No necesito una fórmula de forma cerrada, sólo una descripción del comportamiento asintótico estaría bien. Los experimentos numéricos parecen mostrar que la probabilidad tiende a 1.

Aquí $a,b$ son arbitrarios. Como ha señalado wolfies en los comentarios, cuando $a=0$ el resultado es inmediato ya que $\min(x_i)\to 0$ . Así que podemos suponer $a>0$ . La desigualdad es invariable por el escalamiento, por lo que podemos suponer, por ejemplo, que $a=1$ y $b$ es arbitraria.

Un poco de historia : Estoy estudiando un algoritmo que tiene parámetros $x_i \in \Bbb R_+, i =1,...,n$ . El algoritmo tiene un buen rendimiento demostrable cuando $$\frac{\sum x_i}{\sum \frac{1}{x_i}} \geq \max(x_i) \cdot \min(x_i).$$ El lado izquierdo puede escribirse como $AM(x_i) \cdot HM(x_i)$ donde $AM$ y $HM$ son las medias aritméticas y armónicas. Ambas cantidades están entre $\min(x_i)$ y $\max(x_i)$ Así que no se puede decir nada de su producto en general.

Sin embargo, las evidencias numéricas parecen indicar que el evento ocurre con probabilidad uno como $n\to \infty$ si el $x_i$ se muestrean uniformemente. Pero no soy capaz de encontrar una prueba de este hecho.

Answer 1

$X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $\dots$ suponer que, por ejemplo $a=1$ y $b$ es arbitrario

Dejemos que $X \sim \text{Uniform}(1,b)$ y que ${X_1, \dots, X_n}$ denotan una muestra aleatoria de tamaño $n$ sobre los padres $X$ .

RHS

Como $n$ se hace grande, el máximo de la muestra tiende a $b$ y el mínimo de la muestra a 1, por lo que el producto $$\max(x_i) \cdot \min(x_i) \quad \to \quad b$$

También se puede derivar formalmente el pdf de $\max(x_i) \cdot \min(x_i)$ como el producto de los estadísticos de mayor y menor orden (la forma funcional se da en la parte inferior), lo que también puede ser útil, pero no es necesario.

LHS $$\quad \large \frac{\frac{1}{n}\sum x_i}{\frac{1}{n}\sum \frac{1}{x_i}}$$

Si estamos interesados en el comportamiento asintótico (gran muestra), podemos aplicar los conceptos del Teorema Central del Límite.

• El numerador es la media muestral de $X$ , que tiene un valor esperado: $\large \frac{b+1}{2}$

• El denominador es la media muestral de $1/X$ , que tiene un valor esperado: $\large \frac{\log{b}}{b-1}$

La relación límite entre el numerador y el denominador es: $$\text{LHS} \large = \frac{b^2-1}{2 \log (b)}$$

El siguiente diagrama traza el límite del LHS en función de $b$ . Tenga en cuenta que, dado que $b$ es el límite RHS, estamos trazando el límite LHS en función del límite RHS:

[ La curva naranja es la identidad $b=b$ ]

... lo que completa la prueba: el límite LHS supera el límite RHS, para todo $b > 1$ . El diagrama también sugiere que, cuanto más grande es $b$ cuanto mayor sea la probabilidad de que la relación de las medias de las muestras supere el producto del rango de la muestra.

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Comprobación de Monte Carlo

Una comprobación de Monte Carlo es informativa para verificar la tasa de convergencia, y para confirmar los límites anteriores.

En lo siguiente:

• $n = 500$
• la curva azul es una aproximación de Montecarlo de la función del coeficiente LHS
• la curva roja es una aproximación de Montecarlo de la función de los datos del lado derecho $\max(x_i) \cdot \min(x_i)$ .

Como se ha argumentado anteriormente:

• la curva roja está centrada en $b$ , donde $b =2$ en el diagrama superior, y $b = 4$ en el diagrama inferior.

• la curva azul aparece Normal (según CLT) con modo en $\frac{b^2-1}{2 \log (b)}$ que es $\approx 2.164$ cuando $b = 2$ (diagrama superior), y $\approx 5.41$ cuando $b = 4$ (diagrama inferior).

Comparación de muestras pequeñas

El siguiente diagrama compara la pequeña muestra de pdf de los dos productos:

cuando $b = 2$ . Esta vez, la curva roja discontinua es el pdf exacto del producto de la muestra mínima y máxima.

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CDF exacta del producto de la muestra mínima y máxima

Dado un padre uniforme, digamos con $b=2$ :

f = 1;  domain[f] = {x, 1, 2}; 

... podemos encontrar el pdf conjunto de la muestra mínima y la muestra máxima (estoy usando aquí la función estadística de orden de mathStatica para automatizar) como:

Dejemos que $Z = X_1 X_n$ denotan el producto de la muestra mínima y máxima. Entonces la fdc de $Z$ , $P(Z<z)$ es:

El pdf se puede obtener entonces diferenciando wrt $z$ . Este último se utilizó para trazar las curvas rojas exactas que aparecen arriba. Quizá deba señalar que soy uno de los autores del software utilizado aquí.