Triángulos de la forma $a^n+b^n=c^n$

Question

Dejemos que $\Delta$ sea un triángulo con lados (reales) de longitud $a,b,c>0$ . Desde esta pregunta sabemos que $$a+b=c \qquad \iff \qquad \Delta \text{ is a straight line}$$ Ahora, sabemos por el Teorema de Pitágoras que $$ a^2+b^2=c^2 \qquad \iff \qquad \Delta \text{ is a right triangle}$$ Me pregunto si es posible, para un fijo $n>2$ para tener un caracterización geométrica de los triángulos que satisfacen $a^n+b^n=c^n$ Es decir: $$ a^n+b^n=c^n \qquad \iff \qquad \Delta \text{ is ?}.$$

Notas: Para $n>1$ y cualquier $a,b>0$ existe siempre un triángulo no degenerado $\Delta$ con $c= (a^n+b^n)^{1/n}$ . Parece que para el caso $n=3$ las cosas ya son más complicadas. Todos los triángulos siguientes satisfacen $$a^3+b^3=c^3.$$

Answer 1

Si $x = \frac{a}{c}$ , $y = \frac{b}{c}$ (nota: ambos están en $(0, 1)$ )

entonces para $n \gt 2$ ,

$x + y \gt x^2 + y^2 > x^n + y^n = 1$

Así, $a + b \gt c$ y $a^2 + b^2 \gt c^2$ y así $a,b,c$ forman los lados de un triángulo y el triángulo debe ser agudo.

Answer 2

Bueno, para cualquier $m > 0$ existirá $c^n = m$ y para cualquier $j + k = m; j>0; k>0$ existirá $a^n = j; b^n = k$ . Como $(a+b)^n > a^n + b^n = c^n$ tenemos $a+b > c$ por lo que tales triángulos existen y tales números son muy comunes.

Answer 3

Si fijamos dos puntos del triángulo en $(\pm 1,0)$ (y por lo tanto $c=2$ ), entonces podemos trazar los puntos que satisfacen $a+b=2$ , $a^2+b^2=2^2$ como este enlace de WA%5E(1%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(1%2F2)%3D2%5E1) y este enlace de WA%5E(2%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(2%2F2)%3D2%5E2) .

Del mismo modo, podemos trazar los casos para $n=3,4,5$ y $10$ . ( $n=3$%5E(3%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(3%2F2)%3D2%5E3) , $n=4$%5E(4%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(4%2F2)%3D2%5E4) , $n=5$%5E(5%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(5%2F2)%3D2%5E5) , $n=10$%5E(10%2F2)%2B((x%2B1)%5E2%2By%5E2)%5E(10%2F2)%3D2%5E10) )