¿Por qué debería preocuparme por campos de característico positivo?

Question

Esto es lo que sé acerca de por qué alguien podría la atención acerca de los campos de característica positiva:

1. son útiles para la teoría de números
2. en la geometría algebraica, la teoría de las "geometría" puede ser desarrollado a través de ellos, y es divertido ver cómo la geometría de las obras

Algunas personas pueden leer esto y pensar, "¿Qué más se puede pedir?" Pero nunca he sido capaz de hacerme la atención acerca de la teoría de los números, de modo que (1) no me ayuda. (2) es bueno para lo que es, pero tengo la esperanza de que hay algo más. Mi comprensión de la (2) es que esto es sólo la geometría en un sentido abstracto y, por ejemplo, no hay generalmente manera útil directamente representar visualmente estos campos o variedades sobre ellos de la manera que podamos sobre los reales o los números complejos. (Dibujo de una curva en R^2 y diciendo que es la curva más algún otro campo puede ser útil para algunos propósitos, pero no es lo que estoy después de aquí.)

¿Hay algo más? El ideal (seguramente imposible) respuesta para mí sería "Sí, esos campos son muy buenos modelos para estas común y fácil de entender los sistemas físicos: a, B, C. También, se puede visualizar y variedades sobre ellos muy fácilmente por el método D. Finalmente, aquí hay un montón de sorprendentes y útiles aplicaciones para 500 otras áreas de las matemáticas."

ACTUALIZACIÓN: para responder a las Qiaochu comentario sobre lo que me interesa.

Digamos que me interesa:

algebraicas y geométricas de la topología

la geometría diferencial y topología

aplicaciones a la física

y ciertamente la atención acerca de la geometría algebraica sobre C

(esto es para decir que estoy de entender las motivaciones detrás de estos temas y la idea general, no necesariamente que conozco en profundidad)

Answer 1

Supongamos que usted se preocupa de grupos finitos, de una manera o de otra. Entonces usted probablemente atención acerca de la clasificación de los finitos simples grupos. La mayor parte de esta clasificación es el de los grupos de Lie tipo, que fueron descubiertas por la búsqueda de análogos de la Mentira grupos sobre campos finitos.

Finito campos son también (como uno podría suponer) muy importante en ciencias de la computación. Sin duda soy ningún experto, pero aquí hay algunas aplicaciones que conozco:

• Protocolos criptográficos como Diffie-Hellman tienen como base el simple hecho de que es difícil invertir la exponenciación en campos finitos.
• El estándar de manera que uno de los factores de polinomios sobre los enteros es aplicar algo así como el algoritmo de Berlekamp a factor de ellas a lo largo de varios campos finitos en primer lugar, a continuación, combinar los factorizations.
• El clásico teorema de que IP=PSPACE requiere un poco de trabajo sobre campos finitos.
• Curvas elípticas sobre campos finitos se utiliza para la criptografía de curva elíptica.
• También me han dicho que los espacios vectoriales y las variedades más finito campos pueden ser utilizados para la construcción de corrección de errores códigos. No sé nada acerca de esto, pero aquí es un libro sobre el tema. Para el caso especial de los códigos lineales esto conduce a una hermosa analogía entre la celosía de la esfera de envases y de corrección de errores códigos que se describe, por ejemplo, Noam Elkies aquí.

Por último, incluso si usted está interesado sólo en las variedades de más de $\mathbb{C}$ (por ejemplo), si su variedad también pasa a ser agradable y definido a lo largo del $\mathbb{Z}$, entonces puede ser agradable y definido a lo largo del $\mathbb{F}_p$ para todos, pero un número finito de $p$ y puede utilizar las conjeturas de Weil para calcular sus números de Betti por contar. Esto es particularmente fácil de hacer para las variedades con buen módulos de interpretaciones como la bandera de variedades.

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Edit: Usted también puede estar interesado en la lectura de Serre de la exposición el artículo Cómo utilizar campos finitos para problemas relativos a infinito campos, así como Manin las Reflexiones sobre la aritmética de la física. Tengo el último eslabón de una excelente respuesta a un MO pregunta sobre la simetría de espejo sobre campos finitos.

Answer 2

Hay todo un papel de Serre en esto, que no he leído; voy a explicar brevemente una de mis aplicaciones favoritas.

Una de las aplicaciones estupendas de este es el Ax-teorema de Grothendieck. Que es un 100% de la analítica de declaración: si $P: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ es un inyectiva polinomio mapa, entonces es surjective. Y, sin embargo, la prueba utiliza campos finitos.

Cómo? Bien, en primer lugar observamos que el teorema es trivial si $\mathbb{C}$ es reemplazado por un campo finito: un inyectiva mapa sobre conjuntos finitos es surjective. El uso de un poco de álgebra (y un simple y directa límite de argumento), se desprende que el teorema es cierto para el algebraicamente cerrado campo de la característica $p$ que es la clausura algebraica de los números enteros mod $p$.

Aplicar ahora para un poco de modelo de la teoría; el teorema de Robinson dice que cualquier declaración de la lógica de primer orden que es cierto en un alg. campo cerrado de char. $p$ por cada $p$ es cierto en cualquier algebraicamente cerrado campo de char 0, en particular el de los números complejos. El truco es que el Ax-teorema de Grothendieck puede ser formulada como una colección de (infinitamente muchos) declaraciones en la lógica de primer orden. Y cada uno es verdadero en la clausura algebraica de los campos finitos. De ahí que, por Robinson del teorema, es cierto que en los $\mathbb{C}$!

Esto sería hacer trampa si Robinson teorema eran algo oscuro. De hecho, sin embargo, es una aplicación directa del teorema de compacidad para la lógica de primer orden.

Por otro prueba a través de la Nullstellensatz (pero basado en campos finitos, todavía), ver a Terry Tao del post.

Answer 3

Si usted está interesado en la geometría algebraica sobre C, este es otro motivo. Una técnica básica en birational la geometría de la curva y se rompa, lo que aproximadamente equivale a tomar cualquier curva en una variedad proyectiva y la deformación hasta que se convierte en una unión de curvas de baja de género. Finalmente, esta técnica puede ser utilizada para producir racional de las curvas (en hipótesis).

Esta es una herramienta importante, y ha sido utilizado por ejemplo para el estudio de la geometría de Fano variedades, en particular, para demostrar que son uniruled, o para demostrar Hartshorne conjetura sobre la caracterización de la proyectiva del espacio por la positividad de su tangente paquete.

El hecho es que, para hacer el truco funcione debes tener una curva cuyo espacio de embedded deformaciones es lo suficientemente grande. Esto es fácil de lograr en característica positiva: la curva no se deforman, pero si que componen la inclusión con una suficientemente alta potencia de la Frobenius de morfismos, el mapa que se puede obtener, con suficiente deformaciones. Para probar el resultado en el carácter 0, una técnica de reducción de la característica p se usa.

Answer 4

1. Usted no puede evitar finito campos si usted compleja geometría algebraica, así como no se puede evitar (y esto es una ventaja para utilizar variables de esa plaza a cero. Algunas de las principales técnicas de trabajo por la reducción de mod $p$ y no siempre hay sustitutos que realizar la misma directamente en el carácter 0.

2. Una gran cantidad de algoritmos de trabajo mediante la reducción de modulo muchos primos y luego unir los resultados (teorema del resto Chino). Para el análisis de lo que sucede en los números primos que usted necesita para comprender finito campos, y en algunos casos, p-ádico campos.

3. Corrección de errores códigos tienen un significado fundamental como la construcción de "distribuidos de manera uniforme" o "bien espaciados de" objetos " en muchas dimensiones. Esto es cierto independientemente de sus comerciales adicionales, de cifrado o de cálculo de la significación. Y sucede que la comprensible de errores-código de corrección de la teoría es la parte relacionados con el álgebra lineal, teoría de números y geometría algebraica sobre campos finitos. En la medida en que la corrección de errores códigos se ven como un modelo para los fenómenos de la naturaleza o de sus idealizaciones matemáticas (cristales, envases, envolturas, spin gafas, combinatoria transiciones de fase, etc), a continuación, el uso rutinario de campos finitos es inevitable, incluso si usted no tiene cuidado acerca de la teoría de los números por sí mismo.

Answer 5

La construcción de la real campo de los racionales, utilizando secuencias de Cauchy puede ser imitado para la construcción de otros (característica cero) completar los campos no isométrica a los reales. Es decir, en lugar de comenzar con la métrica definida por la costumbre (arquímedes) valor absoluto, se puede considerar el $p$-ádico métrica ($p$ una prima fija) y continuar en la misma línea. Un teorema de Ostrowski dice que hasta equivalencia estos son, de hecho, la única forma de completar $\Bbb Q$.

Está completa, en los campos de ${\Bbb Q}_p$ así obtenida puede ser utilizada para desarrollar una analítica de la teoría de que es similar a la teoría clásica "$\Bbb R$", pero tiene algunas diferencias sutiles.

Una fuente de la diferencia es que los campos ${\Bbb Q}_p$ --improbable $\Bbb R$--natural de la sub-anillo, el radio de $1$ esfera centrada en $0$, un.k.una. el $p$-ádico enteros $\Bbb Z_p$, que es un anillo local con residuo de campo isomorfo al campo con $p$ elementos.

Este es un indicio de que el hecho de que "$p$-ádico de análisis" está profundamente entrelazado con la teoría de campos finitos.