Tengo esta pregunta que parece un poco más difícil de lo que pensaba. Llevo alrededor de una hora golpeando pensamientos sin rumbo en esta. Realmente podría usar una pista aquí si alguien sabe cómo abordarlo.
Sea $f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$ tal que $f$ sea estrictamente creciente y $f(f(n))=3n$ para todo $n \in \Bbb{N}$. Encuentra $f(2001)$.
Parte A: $f(1)=2$.
Primero $f(1)$ no puede ser $1$. De lo contrario, $3=f(f(1)) = f(1) = 1$.
Por lo tanto, $f(1)$ es al menos $2$. Pero $3 = f(f(1)) > f(2)$ porque $f$ es creciente y $f(1)>2$.
Luego $f(2)$ solo puede ser $2$ o $1$. Pero $f(1)$ es al menos $2$ y $f(1). Esto es una contradicción. Así que $f(1)$ debe ser $2$.
Parte B
Dado que $2 = f(1)$, entonces $f(2) = f(f(1)) = 3\cdot1 = 3$. De manera similar, $f(3) = f(f(2)) = 6$ y
$f(6) = f(f(3)) = 9$.
Dado que f es estrictamente creciente, entonces $f(4)$ y $f(5)$ deben ser $7$ y $8$.
Parte C
Afirmación: $f(3^n) = 2\cdot 3^n $
¿Por qué? Sea $f(n) = x$. Entonces $f(f(n)) = f(x)$.
Así que $3n = f(x)$. Y $f(3n) = f(f(x)) = 3x = 3f(n)$. Entonces la iteración sigue:
$$f(3^n) = 3f(3^{n-1}) = \ldots = 3^n\cdot f(1) = 2\cdot3^n$$
A partir de este resultado,
$$f(2\cdot3^n) = f(f(3^n)) = 3\cdot3^n$$
Ahora para $x\in[3^n, 2\cdot3^n]$, $f(x)\in[2\cdot3^n, 3\cdot3^n]$. Tanto $x$ como $f(x)$ tienen exactamente $3^n$ valores. Se observa que $f(x)$ debe ser números enteros positivos y estrictamente crecientes. Por lo tanto, si $x$ aumenta en $1$, $f(x)$ también debe aumentar en $1$. Entonces
$$ f(3^n + m) = 2\cdot3^n + m ; m \in [0,3^n]$$
Parte D
Afirmación:$ f(2\cdot3^n + m) = 3(3^n + m) ; m \in [0,3^n]$.
¿Por qué? De la Parte C, $f(2\cdot3^n) = 3\cdot3^n$ y $f(3\cdot3^n) = 2\cdot3^{n+1}$
Para cualquier $x\in[2\cdot3^n, 3\cdot3^n]$, basándonos en el resultado de C, existe un z tal que $x = f(z) = 2\cdot 3^n + m$ donde $z = 3^n + m$, y $m\in[0,3^n]$. Por lo tanto, $f(x) = f(f(z)) = 3z$, es decir.
$$ f(2\cdot 3^n + m) = 3\cdot(3^n + m) ; m \in [0,3^n]$$
Parte E
$f(2001) = f(2\cdot3^6 + 543) = 3(3^6 + 543) = 3\cdot(729+543) = 3816$.
Pista. Yo empezaría por construir la función explícitamente en el extremo inferior. Puede que esté bastante bien limitada por el hecho de ser estrictamente creciente. Por ejemplo, sabemos que $f(1) = 2$: No puede ser $1$, porque entonces $f(f(1)) = f(1) = 1 \not= 3$, y no puede ser $3$, porque entonces $f(f(1)) = f(3) > f(1) = 3. Por lo tanto $f(2) = 3. Por lo tanto $f(3) = 6. Por lo tanto $f(6) = 9.
Ahora observa que $f(3)$ y $f(6)$ comprimen a $f(4)$ y $f(5)$ para ser $7$ y $8$, respectivamente. Luego $f(7) = 12$ y $f(8) = 15. Desde $f(6)$, tenemos $f(9) = 18. Desde $f(7)$, tenemos $f(12) = 21, y ahora $f(10)$ y $f(11)$ están comprimidos por $f(9)$ y $f(12).
Si puedes identificar la regularidad con la que estos valores son comprimidos, puede que puedas obtener $f(2001).
ETA: Esta regularidad puede ser más fácil de ver si expresas los números en ternario (base $3).
Esta solución no cumple la condición de que f sea creciente. La dejaré aquí con la esperanza de que alguien pueda construir sobre ella.
Una posible $f(n)$ puede construirse de la siguiente manera:
Deje que $2^\beta$ sea la mayor potencia de dos que divide a $n$, y luego defina $g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ en consecuencia
$$g(n)=\beta\text{ donde }2^\beta\mid n\text{ y }2^{\beta+1}\nmid n \tag{1}$$
Luego deje que $f(n)=\begin{cases} 2n, & \mbox{si } g(n)\mbox{ es par} \\ \frac{3n}{2}, & \mbox{si } g(n)\mbox{ es impar} \end{cases} \tag{2}$
Es claro que si $g(n)=\beta$ entonces tenemos $g(f(n))=\beta\pm1$, de modo que $g(n)$ y $g(f(n))$ tienen paridad opuesta. Por lo tanto, si $f(n)$ cae en un caso, entonces $f(f(n))$ cae en el otro.
Cierre. Además, $f(n)$ solo cae en el segundo caso si $g(n)$ es impar, lo que significa que $n=2m$ para algún $m\in\mathbb{N}$. Entonces $f(n)=\frac{3}{2}n=3m\in\mathbb{N}$ también. Esto muestra que $f(n)\in\mathbb{N}$ para todo $n$.
Así que tenemos la identidad $$\begin{align} f(f(n)) &= 2\times\frac{3}{2}n &(\text{en algún orden}) \\ &= 3n \end{align}$$
Dado que $2001=2^0\cdot3\cdot23\cdot29$, podemos calcular que
$$\boxed{f(2001)=2\times2001=4002}$$
es una posible solución.
Mi respuesta es f(x)=x+n; por lo tanto, f(n)=n+n y f(f(n))=f(n+n)=n+n+n=3n. Por lo tanto, f(2001)=2001+n.
Sí, mi respuesta anterior está equivocada ya que f(n)=n+n=2n haría que f(f(n))=f(2n)=4n.
Entonces, f(n)=(raíz cuadrada de 3)n funcionaría. (Raíz cuadrada de 3 por n)
Intenté cortar y pegar el signo de la raíz cuadrada, pero no funcionó. ¿Cómo se insertan los símbolos matemáticos aquí?
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Puede ser que esto te ayude..2000clicks.com/mathhelp/…
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@juantheron Gracias.
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Deje $g(n) = 3^{\lfloor \log_3 n\rfloor}$, entonces $f(n)$ se puede calcular usando la fórmula $$f(n) = \begin{cases} n+g(n), & n < 2g(n)\\ 3(n-g(n)), & n \ge 2g(n)\end{cases}$$ Para $n = 2001$, esto da $f(2001) = 3816$. No he revisado cada detalle en el enlace de juantheorn, pero creo que la explicación allí es la respuesta adecuada a esta pregunta. La receta básica es mirar la representación de $n$ en base 3. Si comienza con un $1$, reemplácelo por un $2$. Si comienza con un $2$, entonces reemplácelo por un $1$ y añada un $0$ al final. es decir, $1xxxx \mapsto 2xxxx$ y $2xxxx \mapsto 1xxxx0$.
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Sí, aunque señalaría que implícito (pero no realmente presente) en ese enlace está la prueba de que esta función es la única que satisface la condición dada.
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También sabemos que $f(3n)=3f(n)$.