¿Una unión infinita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado?

Question

Pregunta : { $B_n$ } $ \in \Bbb R$ es una familia de conjuntos cerrados. Demuestra que $ \cup _{n=1}^ \infty B_n$ no es necesariamente un conjunto cerrado.

Lo que yo pensaba : Usando un contraejemplo: Si digo que cada uno $B_i$ es un conjunto de todos los números en el rango $[i,i+1]$ entonces puedo elegir una secuencia $a_n \in \cup _{n=1}^ \infty B_n$ s.t. $a_n \to \infty $ (porque eventualmente el conjunto incluye todos los reales positivos) y como $ \infty \notin \Bbb R$ entonces $ \cup _{n=1}^ \infty B_n$ no es un conjunto cerrado.

¿Esta prueba es correcta? Gracias

Answer 1

Cada subconjunto de $\mathbb R^ n$ es una unión de conjuntos cerrados, es decir, los conjuntos de un punto que consisten en cada uno de sus puntos.

Sin embargo, no todos los subconjuntos de $\mathbb R^n$ ¡están cerradas!

Answer 2

Piensa en la unión de los $B_{n} = [1/n, 1]$ .

Answer 3

Consideremos el espacio topológico (subespacio de $\mathbb{R}$ (números reales) con la topología habitual dada por $\epsilon$ -) dada por $$\{0\}\cup\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}_{>0}\}$$ Entonces, para cada $n\in\mathbb{N}_{>0}$ el subconjunto $$\{\frac{1}{n}\}$$ es tanto abierta como cerrada, pero la unión contable $$\displaystyle\bigcup_{n>0}\{\frac{1}{n}\}$$ es precisamente el conjunto $$\{\frac{1}{n}:n>0\}$$ que no está cerrado, por ejemplo porque $0$ radica en su cierre, pero no en el propio conjunto.

Answer 4

Pero como $\infty\notin\Bbb R$ no podemos usarlo como contraejemplo. Para ver que efectivamente es el caso, observe que su unión es el conjunto $[1,\infty)$ que está cerrado. ¿Por qué está cerrado? Recordemos que $A\subseteq\Bbb R$ es cerrado si y sólo si cada convergente secuencia $a_n$ cuyos elementos son de $A$ tiene un límite dentro de $A$ . Así que necesitamos secuencias cuyos límites sean números reales para empezar, y por tanto secuencias que converjan a $\infty$ no nos sirven de nada. Por otro lado, si $a_n\geq 1$ entonces su límite es $\geq 1$ Así que $[1,\infty)$ está cerrado.

Hay que probarlo con intervalos acotados cuya unión esté acotada. Demuestra que en tal caso el resultado es un intervalo abierto.

Otra opción es observar que $\{a\}$ está cerrado, pero $\Bbb Q$ es la unión de un número contable de conjuntos cerrados. Es $\Bbb Q$ ¿Cerrado?

Answer 5

En su ejemplo, $\bigcup B_i = [1,\infty)$ . Pero se trata de un conjunto cerrado, por lo que no proporciona un contraejemplo.

Considere $B_n = [0, 1 - \frac{1}{n}]$ . Entonces cada $x \in [0,1)$ está en $\bigcup_{n \in \mathbb N_{>0}} B_n$ . Pero ¿qué pasa con el punto final $1$ ?