¿Por qué asegurar esta condición en la que el residuo del propagador es 1?

Question

¿El propagador corregido está dada por $$\Delta'(q)=\frac{1}{q^2+m^2-\Pi^*(q^2)-i\epsilon}$ $ ($\Pi^*$ es la suma de todas las amplitudes de una partícula irreducibles) me sale que es el residuo del propagador original alrededor del poste $q^2=-m^2$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\text{around }q^2=-m^2} \frac{dq^2}{q^2+m^2-i\epsilon}=\lim_{q^2\rightarrow -m^2}\frac{q^2+m^2}{q^2+m^2}=1$$ and that the corrected propagator must have the same residue $$\frac{1}{2\pi i}\oint \Delta'(q)dq^2=1$$ So how does the condition $% $ $\left[\frac{d\Pi^*(q^2)}{dq^2}\right]_{q^2=-m^2}=0$asegurar la segunda integral anterior?

EDICIÓN: Devorando literatura análisis complejo. Ya se han editado algunas cosas que no estaban bien. Para cualquier persona interesada, estoy utilizando Weinberg Vol 1 y esta en la sección 10.3, ~ p. 430.

Answer 1

El original propagador tiene un polo en $q^2=-m^2$, la masa de la cáscara. Para $m=\sqrt{-q^2}$ ser la verdadera masa de la partícula, tenemos $\Pi^*(-m^2)=0$ y requieren que el residuo de la modificación del propagador es la unidad en torno a $q^2=-m^2$. Recordemos que para una función de meromorphic $f(z)$ hemos $$\oint f(z)dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}_{z_k}(f)$$ Por lo tanto $$\oint \Delta'(q^2)dq^2=2\pi i\operatorname{Res}_{-m^2}(\Delta')$$ Tenga en cuenta que el polo en $\Delta'$ es simple. Así tenemos $$\operatorname{Res}_{-m^2}(\Delta')=\lim_{q^2\rightarrow-m^2}(q^2+m^2)\Delta'(q^2)=1$$ La inserción de la definición de $\Delta'$, obtenemos $$\lim_{q^2\rightarrow-m^2}\frac{(q^2+m^2)}{q^2+m^2-\Pi^*-i\epsilon}=1$$ que es $0/0$ a la izquierda, es decir, de crecimiento indeterminado. Usando la regla de L'Hospital, nos encontramos con $$\left.\frac{d\Pi^*}{dq^2}\right|_{-m^2}=0$$ como iba a ser mostrado.