Comparación de dos condiciones de convergencia para las secuencias de números no negativos

Question

Deje $a_n\geq 0$ ser una secuencia de no-números negativos. Considere las siguientes dos afirmaciones: $$ \text{(I)}\qquad\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n a_i =0, $$ $$ \text{(II)}\qquad\qquad\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2}<\infty. $$

Preguntas: (I) implica (II)? (II) implica (I)? De lo contrario, por favor proporcione contraejemplos.

Motivación: en Ambas declaraciones se producen en el contexto de la ley de los grandes números para no idénticamente distribuidas variables aleatorias. Con $a_n=\mathrm{Var}(X_n)$, se puede concluir que el débil LLN si el $X_n$ son pares correlacionados y la condición (I) posea. El fuerte LLN puede concluir si el $X_n$ son estocásticamente independientes y la condición (II) posea. Por lo tanto, uno podría esperar que (II) implica (I).

Answer 1

II implica I:

(nos ocupamos de las sumas parciales aquí)

Se aplica el Cauchy-Schwarz desigualdad para obtener:

$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i^2} \right)\left(\sum_{i=1}^n i^2\right) \ge (\sum_{i=1}^n a_i)^2 $

Podemos ver que $ \sum_{i=1}^n i^2 $ es de la magnitud de la $n^3$$n \rightarrow \infty$. Así que cuando dividimos ambos lados por $n^4$, LHS se converge a 0 $n \rightarrow 0$, lo que implica que $\displaystyle \frac{\sum a_n}{n^2}$ converge a 0.

Yo NO implican II:

por ejemplo, $a_1,a_2$ algo$\displaystyle a_n = \frac{n}{\log n}$$n \ge 3$. Esto no satisface II (conocido). Pero satisface yo, porque asintóticamente, $\displaystyle \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n a_i \sim \frac{1}{n^2} \int_3^n \frac{x}{\log x} dx$.

El logarítmica integral tiene un conocido aproximación $\displaystyle \int_3^n \frac{1}{\log x}dx = O\left(\frac{n}{\log n}\right)$.

Por lo $\displaystyle \frac{1}{n^2} \int_3^n \frac{x}{\log x} dx \leq \frac{n}{n^2} \int_3^n \frac{1}{\log x} dx = O\left(\frac{1}{\log n}\right) \rightarrow 0$$n \rightarrow \infty$.