Traducir la intuición en rigor. La regla de la cadena.

Question

Cuando se consideran dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ se sabe que

$$\left(f\circ g(x)\right)' = f'\circ g(x)\cdot g'(x)$$

Así que mi enfoque intuitivo es:

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {g\left( {x + \Delta x} \right)} \right) - f\left( {g\left( x \right)} \right)}}{{\Delta x}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {g\left( {x + \Delta x} \right)} \right) - f\left( {g\left( x \right)} \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right) - g\left( x \right)}}\frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) - g\left( x \right)}}{{\Delta x}}$$

Poner $g\left( {x + \Delta x} \right) - g\left( x \right) = \Delta g\left( x \right)$

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {g\left( x \right) + \Delta g\left( x \right)} \right) - f\left( {g\left( x \right)} \right)}}{{\Delta g\left( x \right)}}\frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) - g\left( x \right)}}{{\Delta x}}$$

Así que supongo que el problema se reduce a traducir cómo $\Delta x \to 0 \Rightarrow \Delta g\left( x \right) \to 0$ y para abordar ${\Delta g\left( x \right)}$ de la conducta de los ciudadanos.

La última intuición es escribir imprudentemente

$$g\left( {x + \Delta x} \right) - g\left( x \right) = \Delta g$$

y poner

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f\left( {g\left( x \right)} \right)}}{{\Delta g\left( x \right)}}\frac{{\Delta g\left( x \right)}}{{\Delta x}}$$

que es la idea detrás de

$$\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}}\frac{{dg}}{{dx}}$$

Answer 1

La regla de la cadena es muy sencilla, si se utiliza la definición correcta de la derivada. La derivada $f'(x)$ es una función tal que $$f(x + \epsilon) = f(x) + \epsilon f'(x) + o(\epsilon).$$ Si no sabes lo que significa la notación "little oh", piensa en ella como $$f(x + \epsilon) \approx f(x) + \epsilon f'(x).$$ De la misma manera, $$g(x + \epsilon) \approx g(x) + \epsilon g'(x).$$ Por lo tanto, utilizando la continuidad, $$f(g(x+\epsilon)) \approx f(g(x) + \epsilon g'(x)) \approx f(g(x)) + \epsilon g'(x) f'(g(x)).$$ Tenemos la regla de la cadena: $$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x).$$

La única parte no trivial es $$y \approx z \Longrightarrow f(y) \approx f(z), $$ que es una declaración de continuidad.

Answer 2

Su intuición es sólida, y el hecho de que $\Delta x \rightarrow 0 \implies \Delta g \rightarrow 0$ se deduce de la continuidad de $g$ .

Sin embargo, hay una sutileza: ¿qué pasa si $\Delta g = 0$ para un tamaño arbitrario de $\Delta x$ ? Todavía es posible hacer pasar la prueba, sobre todo pensando detenidamente en lo que esto significa. Esto lo hago en $\S 5.2$ de estas notas de clase .