Explicación intuitiva de identidad integral

Question

He podido probar la identidad $$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)} \, dx = \frac{1}{2}$$ for any continous $f:[0,1]\to[0,\infty)$ que el integrando es definido, con cálculo, pero quisiera saber si hay una explicación intuitiva de la identidad.

Answer 1

Sugerencia Hay simetría en el juego. Hacer el cambio de variables $x\to 1-x$, entonces en definitiva. El integrando es $g(x)$, tiene la propiedad de que $g(1-x)=1-g(x)$.

Answer 2

Considerar\begin{align} I = \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x)-f(1-x)} \, dx \end {Alinee el} y que $x = 1-t$ obtener\begin{align} I &= \int_{1}^{0} \frac{f(1-t)}{f(1-t) - f(t)} \, (-1) dt \\ &= - \int_{0}^{1} \frac{f(1-t)}{f(t) - f(1-t)} \, dt. \end align {} ahora sumando las dos integrales rendimientos\begin{align} 2 I &= \int_{0}^{1} \frac{f(x) - f(1-x)}{f(x) - f(1-x)} \, dx = \int_{0}^{1} \, dt = 1 \end {Alinee el} y por lo tanto\begin{align} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x)-f(1-x)} \, dx = \frac{1}{2}. \end {Alinee el}

Answer 3

$$\int_0^1\frac{f(x)}{f(x)-f(1-x)}dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{f(x)}{1-\frac{1}{2x}}\left(\frac{x-(1-x)}{f(x)-f(1-x)}\right)\frac{dx}{x}$$

Mi aproximada de la intuición es que el $\frac{x-(1-x)}{f(x)-f(1-x)}$ es una burda aproximación a la inversa de la derivada. Multiplicando $f$ mediante una aproximación a la inversa de la derivada da una aproximación de la $x$ del valor. Que se cancela con la $x$ en el denominador. Así que usted es la integración de la función racional $\frac{1}{1-\frac{1}{2x}}$$0$$1$. Normalmente, usted obtendrá $2\log(2)$, pero el error de las aproximaciones anteriores es precisamente lo suficiente para escalar esta abajo a $1$.

Me da la sensación de que esto está relacionado con la diferenciación logarítmica, pero no puedo hacer que sea preciso.

Answer 4

Es a causa de la espejo-imagen de simetría alrededor de 1/2.

Hay una hermosa ilustración que se aclara, pero esta es mi primera publicación y no sé cómo dibujar gráficos en un post.

Voy a tratar de explicar en palabras: Por cada punto x en el lado izquierdo de 1/2 (es decir, en el intervalo [0,1/2)) es un punto correspondiente 1-x en el lado derecho de 1/2 (es decir, en el intervalo (1/2,1]).

Observarás que el integrando f(x)/(f(x)+f(1-x)) tiene la propiedad de que cualquier valor y toma en x, se toma el valor de 1 y a su correspondiente imagen reflejada en el punto 1-x.

(Usted puede trabajar esto con bastante facilidad, sustituyendo (1-x) para x y haciendo el álgebra.)

Por lo tanto, estamos tomando la integral de los valores de y en el intervalo [0,1/2), y, a continuación, estamos tomando la integral de 1-y (esos mismos valores de y!) sobre el intervalo (1/2,1]. Se puede ver que lo que los valores de y suma en el lado izquierdo queda cancelada por lo que sus puntos negativos suma en el lado derecho.

La única cosa que queda es la 1 sobre el intervalo (1/2,1]. Que se traduce en una integral de 1*(1/2) = 1/2.

Eso es todo.

Answer 5

La Plaza $[0,1]\times [0,1]$ es una Unión de dos conjuntos $\{y \le g(x)\}$ y $\{y \ge g(x)\}$. Si $g$ tiene el % de propiedad $g(1-x)=1-g(x)$entonces la simetría con respecto al centro de la Plaza tiene un sistema en el otro, por lo tanto son congruentes y tienen la misma área $1/2$.

(suponga que $f>0$ tan $g(x) = \frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)} \in (0,1)$)