figura

Question

Trabajando en esta conjetura, me encontré con su corolario, que también es apoyado por los cálculos numéricos, al menos, $10^5$ dígitos decimales: $$K\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2\right)\stackrel?=\frac{\Gamma\left(\frac16\right)\Gamma\left(\frac13\right)}{4\ \sqrt[4]3\ \sqrt\pi},$$ donde $K(x)$ es la integral elíptica completa de la 1ª clase. No he podido encontrar este valor específico en MathWorld, Wolfram Funciones del Sitio, Wikipedia o DLMF.

Es un valor conocido?

Answer 1

Ver aquí: http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html y también aquí: http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValuek3.html

Su valor es en realidad $$ \sin \frac\pi{12} = \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}, $$ y de acuerdo a MathWorld, es conocida como la tercera de singular valor $k_3$. Satisface $$ K(\sqrt{1-k_3^2}) = \sqrt{3}K(k_3) $$ y $$ K(k_3) = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(1/6)}{2\cdot 3^{3/4}\Gamma(2/3)}. $$ Mathematica dice que las dos formas cerradas son iguales.