Postes para una partícula dispersada en un delta del potencial

Question

Estoy trabajando en un problema el profesor me dio para tener una idea de la investigación que realiza, y han alcanzado un punto donde estoy teniendo un tiempo difícil ver a donde tengo que ir de donde estoy yo. También me gustaría seguir adelante y pedir disculpas por no saber cómo formatear correctamente.

Yo estaba dado de que una partícula se dispersa con el Hamiltoniano: $$ H = P^2 - g\delta(x) $$ Donde $\delta(x)$ es la función delta de Dirac. Yo era capaz de encontrar a los estados en el momento de la representación, y se suponía que la transformada de Fourier de ellos para obtener la posición de la representación de los estados. Haciendo esto conduce a una integral simple polos en el eje real, y puede ser resuelto por el movimiento de los polos por encima o por debajo del eje real por una constante, aplicando el teorema de los residuos, y tomando la constante a cero. Esto lleva a tres diferentes soluciones, dependiendo de si me muevo un poste de arriba y uno abajo (dos posibilidades), o de ambos polos, en un contorno.

Mientras yo estaba hablando con mi profesor, mencionó que las soluciones de trabajar sólo para ciertos valores de $x$, y que el rango de $x$ está dado por lo que hace que el arco en el contorno de ir a cero. Estoy teniendo problemas para ver esto, ya que introduce una ambigüedad en las soluciones. Si yo cambio la izquierda polo y el derecho de polo hacia abajo y cierra el contorno en el plano superior, esto significa que x tiene que ser positivo, con el fin de obtener una exponencial decreciente en la integral. Sin embargo no hay nada que me mueva los polos en el camino opuesto, y de cierre anterior para obtener una solución diferente para $x>0$.

¿Hay algo malo en las matemáticas, o es la manera de mover los polos rige por la situación física que me interesa? (Lo que no sería de avión olas que se mueven a la izquierda para $x>0$ d.)

Debo mencionar que estoy suponiendo que: $$ |\psi> = |p> + |\psi_{sc}> $$

Donde p es el nuevo impulso y $|\psi_{sc}>$ es la dispersos parte de la función de onda.

Trabajando en el impulso de la representación, obtengo: $$ \psi_{sc}(k) = \frac{g - \frac{g^2}{2p+ g i}}{2\pi(k^2-p^2)} $$

Donde k es el impulso de la variable, y p es la fija el impulso de la partícula entrante. La transformación puedo obtener es: $$ \psi_{sc}(x) = \eta \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i k x}}{k^2-p^2} dk $$

Aquí es donde me encuentro con el problema con los polos. Sé que no debería haber ninguna ondas viajando a la izquierda para $x>0$. Mi objetivo final es comprobar mis estados, mediante la comprobación de los coeficientes de reflexión y transmisión y confirmando que añadir a 1.

Answer 1

Así que un detalle que se omite de la cuestión fue que: $$ \psi_{sc}(k)=\frac{g+g I}{2\pi(k^2-p^2)} $$ Donde: $$ I=\int^{\infty}_{-\infty}\psi(q)dq espacio \\espacio espacio\\el espacio (1) $$ (Yo había utilizado en la arbitraria de la prescripción en la descripción original del problema, esto es lo que quiero obtener antes la solución para que $I$)$$\\$$ Usando la ecuación (1) podemos resolver para I, la obtención de: $$ I=\frac{\frac{g}{2\pi}\int^{\infty}_{\infty}\frac{dq}{q^2-p^2}}{1-\frac{g}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dq}{q^2-p^2}} $$

Ahora, las integrales en $I$ puede ser resuelto por el cambio de los polos en el eje real. Determinamos los cambios por la Transformación de Fourier $\psi(k)$ obtener $\psi(x)$, y mover los polos para satisfacer nuestras condiciones de frontera: una onda plana hacia la derecha para $x>0$ y un plano de la onda de movimiento a la izquierda para $x<0$.

La transformada de Fourier se obtiene es proporcional a: $$ \int^{\infty}_{-\infty}dk espacio\\frac{e^{ikx}} {k(k+p)(k-p)} $$ Si se cierra el contorno, esto le da a nuestra función de onda para $x>0$, desde el arco del contorno debe ir a cero cuando el radio se toma hasta el infinito. El cierre da la función de onda para $x<0$.

A través de un razonamiento, obtenemos que la receta está dada por: $$ \lim_{\epsilon \to 0}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ikx}} {k(k+p+i\epsilon)(k-p-i\epsilon)} $$

Ahora, esta es la receta que tenemos para usar en $I$, y cuando hacemos la transformada de Fourier. La hice por primera vez el problema, yo pensaba originalmente teníamos 3 posibles recetas para la transformada de Fourier y para $I$. Sin embargo, tenemos que elegir la receta que se adapta a nuestras condiciones de contorno y palo con ella a lo largo del todo el problema, ya que la prescripción limita nuestra función de onda a las condiciones. Trabajando el resto de el problema, ahora, los rendimientos de la correcta coeficientes de reflexión y transmisión.