¿Por qué este producto de la matriz es diagonalizable?

Question

¿Alguien me puede ayudar con este problema siguiente?

Que $A,B$ ser simétrico matrices. Si $A$ es positiva definida, entonces $AB$ es diagonalizable.

¡Gracias!

P.d.: Las matrices son en $\mathbb{R}$

Answer 1

$A$ Es definido positivo, existe una raíz cuadrada inversible de la matriz que también es simétrica. Esto denota como $A^\frac{1}{2}$. Entonces %#% $de #% donde el último es simétrico porque$$A^{-\frac{1}{2}}ABA^\frac{1}{2} = A^\frac{1}{2}BA^\frac{1}{2}$ $B$ está y simétrico. Por lo tanto $A^\frac{1}{2}$ es similar a una matriz simétrica y por lo tanto, diagonalizable.