En la matemática de la literatura, el término "coordenadas Cartesianas" se utiliza con más frecuencia para referirse simplemente a la norma coordinar las funciones en $\mathbb R^n$, es decir, las funciones $x^1,\dots,x^n\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ definido por $x^i(a^1,\dots,a^n) = a^i$. Algo menos frecuente, también he visto el término utilizado para referirse a cualquier sistema de coordenadas en $\mathbb R^n$ obtenido por componer el estándar de coordenadas con un rígido movimiento, que también puede ser caracterizado como esas coordenadas para que el estándar de coordenadas de los vectores $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^n$ son ortonormales.
El punto es que sólo tiene sentido hablar de "coordenadas Cartesianas" en la $\mathbb R^n$ sí, o en un subconjunto de a $\mathbb R^n$. En una arbitraria suave colector, el término no tiene significado. Por supuesto, en cualquier liso colector $M$, cada punto tiene una vecindad $U$ en el que podemos encontrar una suave coordinar gráfico, y un gráfico que nos permite identificar cada punto de $p\in U$ con sus valores de coordenadas de $(x^1(p),\dots,x^n(p))\in\mathbb R^n$, y por lo tanto temporalmente identificar a $U$ con un subconjunto de a $\mathbb R^n$; pero no podemos llamar a estas coordenadas "coordenadas Cartesianas en $M$."
Si el colector $M$ está dotado de una métrica de Riemann $g$, entonces no hay más que se puede decir. Por ejemplo, uno podría preguntarse si es posible encontrar un gráfico de coordenadas en el que la métrica de Riemann tiene la misma coordenada de expresión como la métrica Euclidiana: $g= (dx^1)^2 + \dots + (dx^n)^2$. Si este es el caso, entonces geodesics y las distancias dentro de este coordinar barrio están dadas por el mismo fórmulas como son en el espacio Euclidiano; pero eso no puede ser cierto en otros lugares en el colector. Creo que esto podría ser la pregunta que usted está recibiendo en su último párrafo, aunque yo no lo llamaría estos "coordenadas Cartesianas" porque ellos no han abierto un subconjunto de a $\mathbb R^n$ como su dominio. La parte superior de mi cabeza, no sé de cualquier nomenclatura estándar para tales coordenadas, pero no sería incoherente a llamar "Euclidiana coordenadas" o "plano de coordenadas."
Es un teorema de la geometría de Riemann que es imposible encontrar las coordenadas a menos que el tensor de curvatura de Riemann métrica es idéntica a cero en el subconjunto $U$. Usted encontrará una prueba de este hecho en prácticamente todos los libros sobre la geometría de Riemann, como mi Riemann Colectores: Una Introducción a la Curvatura (Teorema 7.3). Si desea un tratamiento que no uso tanto de la maquinaria de Riemann colectores, mi Introducción a la Suave Colectores tiene una prueba de que es imposible encontrar Euclidiana coordenadas para la ordinaria $2$-esfera en $\mathbb R^3$ (Proposición 13.19 y Corolario 13.20).
