Mostrar matriz dos bloques son similares

Question

Que $A \in M_n$ y $B,C \in M_m$ probar eso si

H = $$\begin{bmatrix} A&0 \\ 0 & B \end{bmatrix}$$

es similar a k =

$$\begin{bmatrix} A&0 \\ 0 & C \end{bmatrix}$$

Entonces B es similar a C.

No estoy seguro de cómo sería hacerlo sé que si H es similar a K entonces para algunos no singular matriz S y $S^{-1} H S=K$

Answer 1

El uso de Jordan en la forma: existe matrices $P,Q,R$ tal que $P^{-1}AP = J_A$, $Q^{-1}BQ = J_B$, y $RCR^{-1} = J_C$ son todos en forma normal de Jordan.

Nosotros, a continuación, tenga en cuenta que $$\pmatrix{P\\&Q}^{-1}\pmatrix{Un\\&B} \pmatrix{P\\&Q} = \pmatrix{J_A\\& J_B}\\ \pmatrix{P\\&R}^{-1}\pmatrix{Un\\&C} \pmatrix{P\\&R} = \pmatrix{J_A\\& J_C}$$ Por la singularidad de Jordan en la forma (hasta permutaciones de bloques), las dos matrices en el derecho sólo puede ser similar si $J_B$ es similar a $J_C$, es decir, que la $B$ es similar a $C$ como se desee.

Answer 2

Ya que % son similares, $H$y $K$ $B$ y $C$ tienen el mismo conjunto de valores propios distintos. También $B$ y $C$ tienen misma generalizado subespacios propios (mismo número de vectores independientes) para distintos valores propios, es decir, $$\operatorname{Rank} (\lambda_iI-B) ^ n = \operatorname {fila} (\lambda_iI-C) ^ n$$ donde $\lambda_i$ son valores propios distintos de $B$ y $C$. Por lo tanto, $B$ y $C$ son similares.