Prueba de desigualdad $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$ mediante la inducción

Question

Demostrar que $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$el % si $n \ge 1$ mediante la inducción.

Alguien me puede ayudar con esto por favor problema. Caso base se muestra fácilmente, y para el paso inductivo tengo utilizar la desigualdad $n\gt1$ para mostrar que es cierto para $n+1$, pero no estoy seguro cómo.

Gracias.

Answer 1

¿Tiene que ser inducción completa? Ya que parece ser la manera más simple:

$$(1)\;\;\;\;\;\;2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\leq\frac{2}{\sqrt n+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n}$$

$$(2)\;\;\;\;\;\;2\left(\sqrt n-\sqrt{n-1}\right)=\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}\geq\frac{2}{\sqrt n+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n}$$

Answer 2

Vamos sólo se concentran en el medio a la derecha de la desigualdad.

Esto puede ser fácilmente demostrado sin la inducción. De hecho,

$$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})\ffi \frac12<n-\sqrt{n^2-n}\ffi \\ \sqrt{n^2-n}<n-\frac12\ffi n^2-n<n^2-n+\frac14\iff 0<\frac14$$ que posee. Inducción complicaría mucho las cosas como se verá:

Asumir $$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$$ para algunos $n\ge 1$. Debemos demostrar que $$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$ o, equivalentemente, que $$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$$ Con el fin de utilizar nuestra suposición, parece natural para tratar y mostrar que $$2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) < 2\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$$

Esto sólo es suficiente y no es necesario. Lamentablemente, sin embargo, esto no sólo no se espera, pero demostrando que es malo va a ser más difícil que muestra toda la cosa sin la inducción!:

$$\sqrt{n}-\sqrt{n-1} < \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\ffi n-\sqrt{n^2-n}<n+1-\sqrt{n^2+n}\ffi\\ \sqrt{n^2+n}<1+\sqrt{n^2-n}\ffi n^2+n<1+2\sqrt{n^2-n}+n^2-n\iff \\ 2n-1<2\sqrt{n^2-n}\iff 4n^2-4n+1<4n^2-4n\ffi 1<0$$ lo cual es absurdo. Así que, a menos que yo haya cometido un error en mis cálculos (muy probable) , la inducción no es un acceso directo para resolver este problema (a menos que por supuesto usted el uso de la asunción de un modo diferente y más inteligente manera)

Answer 3

Vamos a considerar la primera desigualdad, y vamos a multiplicar ambos lados por $\frac{\sqrt{n}}2$: $$ \sqrt{n(n+1)}-n < \frac{1}{2} $$ Desde $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}$, es suficiente para mostrar que la secuencia de $a_n=\sqrt{n(n+1)}-n$ es estrictamente creciente, es decir,$a_n> a_{n-1}$$n>1$, por lo que el $a_1< a_2 \ldots < a_n < \lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1}{2}$ es por inducción. \begin{equation} a_n > a_{n-1} \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{n(n+1)}-n > \sqrt{n(n-1)}-n+1 \quad\Leftrightarrow\quad\\ n\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1-\frac{1}{n}} \right) > 1 \end{equation} Vamos a elevar ambos lados a la segunda potencia: $$ \quad\Leftrightarrow\quad 2n^2\left( 1 - \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \right) > 1 \quad\Leftrightarrow\quad 2n^2 - 1 > 2n\sqrt{n^2-1} \quad\Leftrightarrow\quad\\ 4n^4 + 1 - 4n^2 > 4n^4 - 4n^2 \quad\Leftrightarrow\quad 1>0 $$ así que la primera desigualdad es probada.

En cuanto a la segunda, por el mismo razonamiento que demuestra que la secuencia $b_n=n-\sqrt{n(n-1)}$ es estrictamente decreciente (para simplificar los cálculos, te sugiero que para demostrar que $b_{n+1}>b_n$ en lugar de $b_n> b_{n-1}$); en realidad, con que terminan mostrando que $\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{n(n-1)}>1$, lo que hemos demostrado anteriormente.