Equivalencia de 2 definiciones de Diferenciabilidad

Question

Sean $X, Y$ espacios de Banach. Me gustaría demostrar la equivalencia de las siguientes definiciones de diferenciabilidad. Sea $f:X\to Y$ y $a\in X

1. Existe una aplicación $\Delta : X \to L(X,Y)$ continua en $a$, tal que $$f(x)=f(a)+\Delta(x)(x-a)$$

2. Existe una aplicación $D_af\in L(X,Y)$ tal que

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-D_af(x-a)}{\|x-a\|_X}=0$$

La implicación 1 => 2 es fácil escogiendo $D_af=\Delta(a)$. Sin embargo, estoy atascado en la otra dirección, ¿tengo que asumir que $X,Y$ son de dimensional finita?

1 => 2: Supongamos que se cumple 1, entonces

$$\begin{align*}\frac{f(x)-f(a)-\Delta(a)(x-a)}{\|x-a\|_X}&=\frac{\Delta(x)(x-a)-\Delta(a)(x-a)}{\|x-a\|_x}\\ &=[\Delta(x)-\Delta(a)]\left(\frac{x-a}{\|x-a\|_X}\right)\to0\end{align*}$$ ya que $\Delta$ es continua en $a.

Para 2 => 1 puedo hacer el caso de 1 dimensión. Entonces la aplicación $D_af$ es simplemente la multiplicación por el elemento $f'(a)$. Si dejo $$R(x):= \frac{f(x)-f(a)-D_af(x-a)}{x-a}$$ Y defino la aplicación $\Delta(x)$ como la multiplicación por el elemento $(f'(a) + R(x))$ (para $x\neq a$ y $D_af$ en otro caso) todo funciona bien.

Así que pensé que el caso general de dimensional finita debería funcionar de manera similar definiendo $\Delta(x)$ como la aplicación dada por la matriz Jacobi de $D_af$ con cada entrada aumentada por $R(x):=\frac{\|f(x)-f(a)-D_af(x-a)\|_Y}{\|x-a\|_X}$. Esto seguramente da continuidad en $a$ pero no veo cómo se sigue la igualdad en 1.

Para el caso de dimensional infinita no tengo idea de cómo proceder.

Answer 1

Aquí hay una generalización de tu enfoque para el caso unidimensional a todos los casos, haciendo un uso intensivo del axioma de elección.

Para mayor comodidad, establece $\eta(x):= f(x) - f(a) - D_a f(x-a)$. Define $R \colon X \to L(X, Y)$ eligiendo en cada $x \in X$ un $R(x) \in L(X, \operatorname{span}\{\eta(x)\}) \subset L(X,Y)$ tal que $R(x)(x-a) = \eta(x)$ y $$\|\eta(x)\|_Y = \|R(x)\|_{L(X,Y)} \cdot \|x-a\|_X;$$ esto es posible gracias al teorema de Hahn–Banach. Nota que $R(a) = 0$. Tomamos $\Delta := D_a f + R$, que satisface la igualdad en 1.

Según 2 (que es la definición habitual de diferenciabilidad de Fréchet), para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $\|x-a\|_X < \delta$ implica $$\|\Delta(x) - \Delta(a)\|_{L(X,Y)} = \|R(x)\|_{L(X,Y)} < \epsilon.$$ Esta es la continuidad de $\Delta$ en $a$. (Nota que no hay garantía de continuidad en ningún otro lugar).