8 votos

¿Qué significa en la teoría de la matriz $[A,B]=0$?

Esto es probablemente muy simple pero parece que no puedo encontrar una respuesta en cualquier lugar.

Me pide probar $e^{tA}e^{tB} = e^{t(A+B)}$ para todos $t \in \mathbb{R}$iff $[A,B]=0$

Sin embargo, no estoy seguro qué $[A,B]=0$ significa incluso! ¿Alguna ayuda?

10voto

ziggurism Puntos 1137

En la aritmética de los números reales y muchos otros sistemas de numeración, la multiplicación cumple la propiedad conmutativa, $ab=ba$ para todos los elementos de la $a$$b$.en estos sistemas siempre se puede intercambiar el orden de los factores en cualquier multiplicación.

En el anillo de la teoría, álgebra lineal, el operador de la teoría de la mecánica cuántica, y campos relacionados, por lo general todavía tienen sistemas con una noción de multiplicación, pero en general no es necesario que satisface la propiedad conmutativa. Decimos que dos elementos de la $A$ $B$ conmutan si $AB=BA$. Podemos pensar en "moving $B$ pasado $A$" si alguna vez nos vemos multiplicando en uno de los lados. En estos sistemas sólo puede cambiar el orden de los factores de una multiplicación si usted sabe explícitamente que los factores en cuestión viaje, de lo contrario, siempre se debe tener cuidado para conservar el orden de los factores en cada multiplicación.

A continuación, $[A,B]$ es la notación abreviada para $AB-BA$, llamado colector. Por lo tanto, dos elementos que conmutan si y sólo si $[A,B]=0$, y el colector se puede considerar como una medida de la insuficiencia de los elementos que conmutan. Un teorema establece que los desplazamientos normales de las matrices o los operadores pueden ser simultáneamente diagonalized. Diagonal de las matrices de todos conmuta con cada uno de los otros, y escalar de matrices (que tienen el mismo elemento en cada diagonal de la entrada, cero en otro lugar) conmuta con todas las de la matriz.

En un no conmutativa anillo o álgebra usted ya no tiene la identidad de $(AB)^2 = A^2B^2$ o $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ (el último es el lugar $A^2 + AB + BA + B^2$). Esta es la razón por la identidad que usted está buscando en la falla. En la expresión de $e^{tA}e^{tB}$ todos los $A$ operadores aparecen a la izquierda de todas las $B$ operadores, mientras que cuando se mira en la expansión de Taylor para $e^{t(A+B)}$ términos con $A$ a la derecha de $B$. Pero si se conmuta, entonces la prueba de esta identidad se encuentra en análisis real mediante la manipulación de la serie de Taylor de obras sin cambios. Y lo contrario usted puede encontrar que es útil para comparar los poderes de $t$ termwise.

Tenga en cuenta que en el grupo de teoría donde la resta no está disponible, no hay otro colector $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. Ambas son medidas de error para el viaje, pero no son la misma, por lo que ser consciente del contexto.

1voto

Emilio Puntos 38

En la Mentira de la teoría, los corchetes $[,]$ se utiliza para definir una operación que se llama una Mentira soporte, que es un no-asociativa de la multiplicación. Un espacio vectorial con una Mentira soporte es una Mentira álgebra, y cuando ya hay un producto definido en el espacio, la forma natural para definir la Mentira de soporte es el colector: $[x,y]=xy-yx$. Este es el caso con el espacio de las matrices cuadradas (de cualquier orden).

Por eso, $[A,B]$ es el colector $AB-BA$$A$$B$, e $[A,B]=0$ es la abreviatura de '$A$ $B$ commute': $AB=BA $

El resultado entonces de la siguiente manera fácilmente a partir de la serie de la representación de la matriz exponencial.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X