Paquete de la tangente de una superficie

Question

Deje $\Sigma$ ser conectado noncompact orientable de la superficie. No estoy suponiendo que $\Sigma$ es finito tipo o cualquier cosa, por ejemplo, estoy permitiendo $\Sigma$ $2$- esfera menos un conjunto de Cantor. Estoy bastante seguro de que la tangente paquete de $\Sigma$ es trivial. Aquí son dos piezas de evidencia.

1. Esto es cierto si $\Sigma$ puede ser incrustado en una superficie cerrada. Prueba : es fácil ver que una superficie cerrada, menos un punto tiene un trivial tangente paquete, por lo $\Sigma$ debe tener uno también.

2. Si $U\Sigma$ es la unidad de la tangente paquete, entonces tenemos el estándar de corta secuencia exacta $$1 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \pi_1(U\Sigma) \longrightarrow \pi_1(\Sigma) \longrightarrow 1,$$ donde el $\mathbb{Z}$ es el bucle alrededor de la fibra. Desde $\Sigma$ es noncompact, el grupo $\pi_1(\Sigma)$ es gratis, así que esta breve secuencia exacta divisiones (al igual que usted tendría si la tangente paquete fue trivial).

¿Alguien sabe cómo probar esto en general? Gracias!

Answer 1

En general, la tangente paquete de un buen $n$-colector $M$ es clasificado por un (homotopy clase de) mapa de $\phi:M\rightarrow BO(n)$. El colector $M$ es orientable si hay un ascensor de este mapa a $BSO(n)$.

Para $n=2$, e $M$ orientable, vemos a ver que la tangente paquete a $M$ es clasificado por un mapa de $\phi:M\rightarrow BSO(2) = BS^1 = \mathbb{C}P^\infty$. Pero homotopy clases de mapas de $M$ a $\mathbb{C}P^\infty$ es canónicamente isomorfo a $H^2(M)$, y en este caso este grupo es trivial desde $M$ no es compacto. De ello se deduce que no hay un único (hasta el isomorfismo) rango 2 orientables vector paquete en la $M$. Dado que tanto $TM$ y el trivial bundle son orientables, deben ser isomorfos.