Cómo puedo calcular las sumas de la forma: $$\sum_{i=-1}^{5}\sum_{j = -5}^{1}(1 + 2i + 3j + 4ij)?$ $
¿Debo calcular como primero $i = -1, j = \{-5,\dots, 1\}$ y $i = 2, j = \{-5, \dots, 1\}$? ¿Hay algún atajo para el cálculo de este tipo de sumas, es decir, algo similar a la suma de serie aritmética?
El método que proponemos es sin duda el más sencillo, pero es un poco tedioso. Usted puede acelerar las cosas de dividirlas en cuatro sumas y tratar con cada uno de ellos por separado:
$$\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^11+2\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^1i+3\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^1j+4\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^1ij\;.$$
La primera es fácil: se añaden una vez para cada posible par de $\langle i,j\rangle$, y $7^2=49$ posible pares, por lo que el total es $49$. (Hay $7$ valores de $i$ $7$ valores de $j$.)
El segundo lleva un poco más de trabajo. Para cada valor de $i$ en el exterior suma eres simplemente sumando $7$ copias de $i$ en el interior de la suma, por lo que
$$\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^1i=7\sum_{i=-1}^5i\;,$$
y que la última suma es sólo una serie aritmética.
Para el tercero puede sumar la serie aritmética $\sum_{j=-1}^1j$ y, a continuación, observe que el exterior de la suma es sólo sumando $7$ copias de este total.
Que deja el más interesante. Observe que $i$ es una constante en el interior de la suma: no depende de la $j$. Por lo tanto,
$$\sum_{i=-1}^5\sum_{j=-5}^1ij=\sum_{i=-1}^5i\sum_{j=-5}^1j\;.$$
El interior de la suma es ahora la misma serie aritmética como en la tercera de totalización, de manera que pueda evaluar y tire de la suma como una constante multiplicador. Todo lo que queda entonces es la suma de la serie aritmética $\sum_{i=-1}^5i$ y multiplicar el resultado por que el multiplicador (y por $4$, por supuesto).
Una forma, puede iniciar desde $i$, y en esta situación $j$ deben considerarse constante $$\sum _{ i=-1 }^{ 5 } \sum _{ j=-5 }^{ 1 } (1+2i+3j+4ij)=\sum _{ i=-1 }^{ 5 } \left( \sum _{ j=-5 }^{ 1 } +2i\sum _{ j=-5 }^{ 1 } +3\sum _{ j=-5 }^{ 1 } j+4i\sum _{ j=-5 }^{ 1 } \right) =\\ =\sum _{ i=-1 }^{ 5 } \left( 7+2i\cdot 7+3\left( -5-4-3-2-1+0+1 \right) +4i\cdot 7 \right) =\\=\sum _{ i=-1 }^{ 5 } \left( 42i-35 \right) =42\sum _{ i=-1 }^{ 5 } i-35\sum _{ i=-1 }^{ 5 } =\\ =42\left( -1+0+1+2+3+4+5 \right) -35\cdot 7=-588-245=-833$ $
Reescritura de $1+2i+3j+4ij$ $(1+2i)(1+2j)+(1)(j)$. Entonces la doble suma de productos de dos factores que depende sólo de un índice puede ser factorizado ($\sum\sum ab=\sum a\sum b$):
$\sum_{i=-1}^{5}\sum_{j = -5} ^ {1} (1 + 2i + 3j + 4ij) = \sum_ {i =-1} ^ {5} (1 + 2i) \sum_ {j = -5} ^ {1} (1 + 2j) + \sum_ {i =-1} ^ {5} 1\sum_ {j = -5} ^ {1} j\\ = 35(-21) + 7 (-14) =-833. $$
A cálculo de la aceleración, usted puede notar
$$\sum_{-1}^5 i=\sum_{2}^5 i=2+3+4+5=14,$$
entonces
$$ \sum_ {-1} ^ 5 (1 + 2i) = 7 + 2\cdot14 = 35, \\ \sum_{-5}^1 j =-14, \\ \sum_{-5}^1 (1 + 2j) = 7 2\cdot14 =-21. $$
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