¿Por qué una cadena de Markov finita, irreducible y aperiódica con una matriz doblemente estocástica P tiene una distribución límite uniforme?

Question

El teorema es "Si una matriz de transición para una cadena de Markov irreducible con un espacio de estados nito S es doblemente estocástica, su medida invariante (única) es uniforme sobre S".

Si una cadena de Markov tiene una matriz de transición doblemente estocástica, he leído que sus probabilidades límite conforman la distribución uniforme, pero no entiendo muy bien por qué.

He estado tratando de encontrar, y localizar, una prueba comprensible para esto. Pero todas las pruebas que encuentro pasan por alto detalles que no entiendo, como la proposición 15.5 aquí (¿por qué funciona usar sólo los vectores [1,...1]?) ¿Podría alguien indicarme (o escribir) una prueba más sencilla/detallada?

(Aunque no forma parte de nada que vaya a entregar en la escuela, es parte de un curso que estoy haciendo, así que supongo que lo etiquetaré como tarea en cualquier caso).

Answer 1

Supongamos que tenemos un $M+1$ -cadena de Markov irreducible y aperiódica, con estados $m_j$ , $j=0,1,\ldots, M$ con una matriz de transición doblemente estocástica (es decir, $\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ para todos $j$ ). Entonces la distribución límite es $\pi_j=\frac{1}{M+1}$ .

Prueba

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el $\pi_j$ es el único solución a $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$ y $\sum_{i=0}^M\pi_i=1$ .

Prueba con $\pi_i=1$ . Esto da $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ (porque la matriz es doblemente estocástica). Así, $\pi_i=1$ es una solución del primer conjunto de ecuaciones, y para que sea una solución del segundo normalizar dividiendo por $M+1$ .

Por la singularidad, $\pi_j=\frac{1}{M+1}$ .