¿Prueba de continuidad - definición de (ε-δ) - puede alguien verificar esto?

Question

He estado tratando de conseguir mi cabeza alrededor de este problema desde hace bastante tiempo por ahora. Quiero demostrar que la $$f(x) := \left|\frac{x-1}{x^2+1}\right|$$ is continuous for $$x_0 = -1$$

Ahora, para probar esto, quiero aprovechar para ε-δ definición que establece que para cualquier $\varepsilon$ existe $\delta>0$ tal que

$$\left|x-x_0\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_0)\right|<\varepsilon$$

Soy bastante nuevo a los conceptos de análisis; pero entiendo que para realizar este tipo de pruebas, primero se necesita para pasar un par de minutos para encontrar un valor razonable para $\delta$. Por desgracia, no puedo encontrar ninguna en particular, de las "reglas" sobre cómo hacerlo. Así que, primero trató de llenar algunas lagunas para mi problema en particular:

Dado $\varepsilon > 0$, podemos encontrar $\delta > 0$ de manera tal que, si $\left|x-(-1)\right| = \left|x+1\right| < \delta$, $$\left|\frac{x-1}{x^2+1}-(-1)\right|=\left|\frac{x-1}{x^2+1}+1\right|=\left|\frac{x²+x}{x^2+1}\right|<\varepsilon$$

Mi plan ahora es cuidar de la implicación en primer lugar. Es decir, quiero parafrasear $\left|\frac{x²+x}{x^2+1}\right|<\varepsilon$ en una manera que asegura que el real $\varepsilon > 0$ elegido no importa en absoluto. Así que, al final, creo que la manipulación de $\left|\frac{x²+x}{x^2+1}\right|<\varepsilon$ a parecerse a $\left|x+1\right| < ε \cdot \varphi$ sería mi meta, ¿verdad? Porque entonces, si dejamos $\delta := \varepsilon \cdot \varphi$, la implicación que tiene.

Espero que todo este punto estaba en lo correcto. Ahora, me parece

$$\left|\frac{x²+x}{x^2+1}\right| = \left|\frac{x(x^2+1)}{x+1}\right| = \left|x+1\right|\left|\frac{x}{x^2+1}\right|<\varepsilon$$ which is why I would want to let $\delta := \frac{\varepsilon}{\left|\frac{x}{x^2+1}\right|}$ (que se ve bastante feo, uno de los puntos).

Es mi elección de $\delta$ ¿de acuerdo? Nunca he visto una $\delta$ contienen $x$ como una variable antes, mi profesor siempre de alguna manera se las arregló para establecer $\delta$ $\varepsilon$veces algunas constantes $\varphi$, pero me parece que no puede hacerlo.

¿Alguien puede revisar mi actual pasos y me ayude a encontrar una constante $\varphi$, si esto es necesario para la prueba estoy construyendo?

Answer 1

Usted no necesita el mejor $\delta$, sólo se necesita un $\delta$ que funciona.

En particular, cuando se $|x+1| < \delta$, tenemos que tener $$ \left|x+1\right|\left|\frac{x}{x^2+1}\right|<\varepsilon $$ O en otras palabras, necesitamos tener $$ \delta \left|\frac{x}{x^2+1}\right|<\varepsilon $$ Pero vamos a suponer que vamos a establecer $\delta < 1$. Si ya sabemos que $|x + 1| < 1$, entonces sabemos $-2 < x < 0$. Así, podemos decir que $$ \left|\frac{x}{x^2+1}\right| = \frac{|x|}{|x^2 + 1|} < \frac{2}{x^2+1} < \frac{2}{0^2+1} = 2 $$ Así, que presupone $\delta < 1$, es suficiente para tener $$ \delta \cdot 2 < \varepsilon $$ Así, una satisfactoria elección de $\delta$$\delta = \min\{1,\epsilon/2\}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\left|\frac{x}{x^2+1}\right|<1, \forall x \in \mathbb{R}.$$ So, taking $\epsilon=\delta$ que tienes

$$|x+1|<\delta \Rightarrow \left|\frac{x^2+x}{x^2+1}\right| = \left|\frac{x(x+1)}{x^2+1}\right| = \left|x+1\right|\left|\frac{x}{x^2+1}\right|<|x+1|<\delta=\epsilon.$$