Todo anillo es isomorfo a un subanillo de un anillo de endorfismo de un grupo abeliano

Question

Demuestre que para todo anillo $(R,+,\cdot)$ existe un grupo abeliano, $(A,+)$ tal que $R$ es isomorfo a un subring de $(\operatorname{End}(A),+,\circ)$ .

$(\operatorname{End}(A),+,\circ)$ es el conjunto de homomorfismos de $A$ que forman un anillo bajo adición y composición de funciones.

Estoy pensando en dejar $\operatorname{End}(A)$ sea el grupo tal que $A$ es el grupo abeliano $(R,+)$ y crear un homomorfismo de anillo a partir de $(R,+,\cdot)$ en $\operatorname{End}((R,+))$ .

¿Qué opinas?

Answer 1

Tiene razón, (madame o) señor.

Esto es esencialmente el análogo teórico del anillo de Teorema de Cayley para grupos.

Además, esta cuestión (como pregunta) surgió hace un tiempo en Math Overflow .

Añadido : Se me había pasado que la definición explícita del mapa no estaba contenida en la pregunta del OP. Una incrustación anular natural de $R$ a $\operatorname{End}(R,+)$ es

$r \mapsto \bullet r: (x \in R \mapsto xr)$ .

[O posiblemente $r \mapsto r \bullet: (x \in R \mapsto rx)$ dependiendo de sus convenciones sobre composición].

Answer 2

Creo que en lugar de utilizar $(R,+)$ como grupo abeliano candidato, debe utilizar $$ A = \oplus_{a\in R}A_a $$ donde $A_a$ es el grupo cíclico generado por el elemento $a$ .

Sea $f \in End(A)$ . Entonces podemos pensar en $f$ como $$ \oplus_{a\in R}f_a $$ donde $f_a \in End(A_a)$ .

Por último, podemos definir un mapa $\phi: R \rightarrow End(A)$ tal que para $b \in R$ $$ \phi(b) = \oplus_{a\in R}f_a $$ donde $f_a$ es el mapa trivial si $a \neq b$ ; y $f_a$ es el mapa de identidad si $a = b$ .

Answer 3

Puede considerar $(R,+)$ el grupo abeliano subyacente. Entonces, un morfismo inyectivo es \begin{align*} \lambda:R&\to \text{End}_{\textsf{Ab}}(R)\\ r&\mapsto \lambda_r \end{align*} donde $\lambda_r$ es la multiplicación por la izquierda de $r$ .