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¿Es la suma más fundamental que la resta?

Cuando seguí un curso de introducción a la teoría de grupos y a lo largo de todos mis cursos de matemáticas como físico, la sustracción siempre se definía en términos del elemento inverso y de la suma.

¿Es ésta la única manera? Es decir, ¿se puede definir la resta sin la suma?

Si la pregunta es demasiado amplia, tal vez se pueda centrar en los grupos y otros conceptos físicamente relevantes.

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Joachim Puntos 2186

Bueno, ya que sabes un poco de teoría de grupos, tal vez esto ayude.

Siempre requerimos que una operación de grupo sea asociada. Pero - no lo es: \begin {align*} (a-b)-c &= a-b-c \\ a-(b-c) &= a-b+c \end {align*}

Además, pero menos importante, + es abeliano, mientras que - no lo es.

Por lo tanto, desde la perspectiva de la teoría de grupos, - no tiene mucho sentido. Ni siquiera es una operación, es una forma abreviada de escribir "añadir el inverso del siguiente elemento".

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Anthony Cramp Puntos 126

Tarski hizo esta cosa, donde definió "grupo" con una sola operación llamada $x:y$ para ser considerado como $x y^{-1}$ , de forma que se satisfaga una única ecuación de forma idéntica. Así que, de hecho, se puede empezar con la resta primero y luego definir la suma, el cero, los inversos de eso.

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Ben Millwood Puntos 8924

Sí, puedes definir la suma en términos de la resta si quieres. Pero supongamos que tengo un conjunto $S$ que no es vacía y es cerrada bajo la resta, tal y como yo la reconocería. Entonces:

  • $S$ contiene $0$ , ya que es sólo $x-x$ para algunos $x\in S$
  • Por lo tanto, para todos los $x\in S$ , $-x\in S$ ya que $-x = 0-x$ .
  • Por lo tanto, para todos los $x,y\in S$ , $x+y\in S$ ya que $x+y=x-(-y)$ .

Por lo tanto, $S$ es un grupo bajo adición. Lo contrario no es cierto: hay estructuras, como los números naturales, cerradas bajo $+$ pero donde $-$ no tiene sentido.

De esto concluyo que $+$ es una operación estrictamente más general que $-$ Por lo tanto, se aplica más a menudo y, por lo tanto, (además de ser más agradable en el sentido de la asociatividad y la conmutatividad) merece más la pena estudiarla y considerarla. Dondequiera que se encuentre la resta, es porque realmente hay alguna suma alrededor, mientras que la suma no necesita venir con una operación de resta correspondiente.

Y una cosa más: pregúntate qué resta significa sin referirse a la adición. La forma más sencilla de describir la concepto de la resta, en lugar de la implementación, es sin duda para referirse a la suma, que a su vez se describe en términos de la operación de sucesión o algo similar (la cardinalidad de una unión disjunta, tal vez?)

[1]: Juego de palabras... un poco intencionado. No me juzgues.

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theog Puntos 585

En los números naturales, no hay inversos, por lo que simplemente no puede definir la sustracción como la adición del elemento inverso allí. Una forma de definir $a - b$ es como la solución única, si existe, de la ecuación $a = b + x$ . Pero también se puede evitar la suma por completo y definir la resta recursivamente como $$\begin{align} a - 0 &= a, \\ S(a) - S(b) &= a - b. \end{align}$$ Entonces declaras $0 - S(a)$ sea indefinido para todos los $a$ y eso cubre todos los casos. Así que sí, en la aritmética de Peano se puede definir la resta sin la suma, pero por supuesto esto puede no generalizarse bien a otros sistemas numéricos.

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Mark Dorsey Puntos 11

Al menos se me ocurre una situación en la que la sustracción surge intuitivamente antes que la adición: el contexto de un espacio métrico. Si te interesan las propiedades métricas de, por ejemplo, la recta real, entonces seguro que te importa más la resta que la suma, ya que así es como se obtiene la distancia entre dos puntos.

Si se empezó con $\mathbb{R}$ y la función de distancia $d(x,y)$ entre dos puntos cualesquiera $x$ y $y$ entonces se podría definir la sustracción como $$ x - y = \begin{cases} d(x,y) &\mbox{if } x \geq y \\ -d(x,y) & \mbox{if } x < y \end{cases} $$ Por supuesto, la función de distancia $d(x,y)$ se define normalmente en términos de resta, y creo que sería difícil llegar a esta definición sin definir primero la suma (definir los números racionales, en particular, sería difícil sin la multiplicación en los enteros, que parece difícil de definir sin definir primero la suma).

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