¿Si una plaza $n^2$ puede escribirse como la suma de dos cuadrados de distinto de cero, así como la suma de tres cuadrados de distinto de cero, entonces puede concluir que se puede escribir como la suma de cualquier número de casillas de distinto de cero para arriba $n^2 - 14$ casillas distinto de cero?
Ejemplo: $13^2 = 12^2 + 5^2 = 12^2 + 4^2 + 3^2$. Pero también $13^2 = 11^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2$ y $13^2 = 12^2 + 4^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2$ etcetera hasta $13^2 = 3^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 + .. + 1^2$.
Es cierto.
Todos los enteros positivos que no son la suma de cuatro distinto de cero plazas son conocidos, ver CUATRO y LAGRANGE. Estos son los ocho número impar $1,3,5,9,11,17,29,41$ y el infinito de las familias $2 \cdot 4^t, \; \; 6 \cdot 4^t, \; \; 14 \cdot 4^t.$ Fuera de la lista, las plazas son $1,9;$ de curso $1$ no es la suma de dos o tres a cero plazas, mientras que$9=4+4+1$, pero no es la suma de dos distinto de cero plazas. Esto le da una manera rápida y sucia para mostrar 1,2,3 distinto de cero plazas implica 4 distinto de cero plazas. Una forma más elegante método, por Thomas Andrews, es en el comentario anterior.
Todos los números, la plaza o no, de más de 33 son la suma de cinco distinto de cero plazas, consulte CINCO. Todos los números, la plaza o no, de más de 19 son la suma de seis cero plazas, ver SEIS.
Ahora, tenemos algunas $n^2 \geq 36, $ y se nos dice que $n^2$ es también la suma de dos distinto de cero plazas y de tres a cero plazas. ThomasAndrews muestra sobre cómo $n^2$ es la suma de cuatro distinto de cero plazas. Hasta ahora, hemos 1,2,3,4,5,6 cubierto.
Ahora, tomar cualquier entero $M$ $ 20 \leq M < n^2.$ Nos dice que $M$ es la suma de seis cero plazas. A continuación, añadir el $n^2 - M$ copias de 1. El resultado es una suma de $n^2$ $n^2 - M + 6$ cero plazas. Aquí $$ 6 < n^2 - M + 6 \leq n^2 - 14. $$
Los números de hasta 100.000 que son cero plazas, y son también la suma de dos distinto de cero plazas y de tres a cero plazas son
169 = 13^2
225 = 3^2 * 5^2
289 = 17^2
625 = 5^4
676 = 2^2 * 13^2
841 = 29^2
900 = 2^2 * 3^2 * 5^2
1156 = 2^2 * 17^2
1225 = 5^2 * 7^2
1369 = 37^2
1521 = 3^2 * 13^2
1681 = 41^2
2025 = 3^4 * 5^2
2500 = 2^2 * 5^4
2601 = 3^2 * 17^2
2704 = 2^4 * 13^2
2809 = 53^2
3025 = 5^2 * 11^2
3364 = 2^2 * 29^2
3600 = 2^4 * 3^2 * 5^2
3721 = 61^2
4225 = 5^2 * 13^2
4624 = 2^4 * 17^2
4900 = 2^2 * 5^2 * 7^2
5329 = 73^2
5476 = 2^2 * 37^2
5625 = 3^2 * 5^4
6084 = 2^2 * 3^2 * 13^2
6724 = 2^2 * 41^2
7225 = 5^2 * 17^2
7569 = 3^2 * 29^2
7921 = 89^2
8100 = 2^2 * 3^4 * 5^2
8281 = 7^2 * 13^2
9025 = 5^2 * 19^2
9409 = 97^2
10000 = 2^4 * 5^4
10201 = 101^2
10404 = 2^2 * 3^2 * 17^2
10816 = 2^6 * 13^2
11025 = 3^2 * 5^2 * 7^2
11236 = 2^2 * 53^2
11881 = 109^2
12100 = 2^2 * 5^2 * 11^2
12321 = 3^2 * 37^2
12769 = 113^2
13225 = 5^2 * 23^2
13456 = 2^4 * 29^2
13689 = 3^4 * 13^2
14161 = 7^2 * 17^2
14400 = 2^6 * 3^2 * 5^2
14884 = 2^2 * 61^2
15129 = 3^2 * 41^2
15625 = 5^6
16900 = 2^2 * 5^2 * 13^2
18225 = 3^6 * 5^2
18496 = 2^6 * 17^2
18769 = 137^2
19600 = 2^4 * 5^2 * 7^2
20449 = 11^2 * 13^2
21025 = 5^2 * 29^2
21316 = 2^2 * 73^2
21904 = 2^4 * 37^2
22201 = 149^2
22500 = 2^2 * 3^2 * 5^4
23409 = 3^4 * 17^2
24025 = 5^2 * 31^2
24336 = 2^4 * 3^2 * 13^2
24649 = 157^2
25281 = 3^2 * 53^2
26896 = 2^4 * 41^2
27225 = 3^2 * 5^2 * 11^2
28561 = 13^4
28900 = 2^2 * 5^2 * 17^2
29929 = 173^2
30276 = 2^2 * 3^2 * 29^2
30625 = 5^4 * 7^2
31684 = 2^2 * 89^2
32400 = 2^4 * 3^4 * 5^2
32761 = 181^2
33124 = 2^2 * 7^2 * 13^2
33489 = 3^2 * 61^2
34225 = 5^2 * 37^2
34969 = 11^2 * 17^2
36100 = 2^2 * 5^2 * 19^2
37249 = 193^2
37636 = 2^2 * 97^2
38025 = 3^2 * 5^2 * 13^2
38809 = 197^2
40000 = 2^6 * 5^4
40804 = 2^2 * 101^2
41209 = 7^2 * 29^2
41616 = 2^4 * 3^2 * 17^2
42025 = 5^2 * 41^2
43264 = 2^8 * 13^2
44100 = 2^2 * 3^2 * 5^2 * 7^2
44944 = 2^4 * 53^2
46225 = 5^2 * 43^2
47524 = 2^2 * 109^2
47961 = 3^2 * 73^2
48400 = 2^4 * 5^2 * 11^2
48841 = 13^2 * 17^2
49284 = 2^2 * 3^2 * 37^2
50625 = 3^4 * 5^4
51076 = 2^2 * 113^2
52441 = 229^2
52900 = 2^2 * 5^2 * 23^2
53824 = 2^6 * 29^2
54289 = 233^2
54756 = 2^2 * 3^4 * 13^2
55225 = 5^2 * 47^2
56644 = 2^2 * 7^2 * 17^2
57600 = 2^8 * 3^2 * 5^2
58081 = 241^2
59536 = 2^4 * 61^2
60025 = 5^2 * 7^4
60516 = 2^2 * 3^2 * 41^2
61009 = 13^2 * 19^2
62500 = 2^2 * 5^6
65025 = 3^2 * 5^2 * 17^2
66049 = 257^2
67081 = 7^2 * 37^2
67600 = 2^4 * 5^2 * 13^2
68121 = 3^4 * 29^2
70225 = 5^2 * 53^2
71289 = 3^2 * 89^2
72361 = 269^2
72900 = 2^2 * 3^6 * 5^2
73984 = 2^8 * 17^2
74529 = 3^2 * 7^2 * 13^2
75076 = 2^2 * 137^2
75625 = 5^4 * 11^2
76729 = 277^2
78400 = 2^6 * 5^2 * 7^2
78961 = 281^2
81225 = 3^2 * 5^2 * 19^2
81796 = 2^2 * 11^2 * 13^2
82369 = 7^2 * 41^2
83521 = 17^4
84100 = 2^2 * 5^2 * 29^2
84681 = 3^2 * 97^2
85264 = 2^4 * 73^2
85849 = 293^2
87025 = 5^2 * 59^2
87616 = 2^6 * 37^2
88804 = 2^2 * 149^2
89401 = 13^2 * 23^2
90000 = 2^4 * 3^2 * 5^4
91809 = 3^2 * 101^2
93025 = 5^2 * 61^2
93636 = 2^2 * 3^4 * 17^2
96100 = 2^2 * 5^2 * 31^2
97344 = 2^6 * 3^2 * 13^2
97969 = 313^2
98596 = 2^2 * 157^2
99225 = 3^4 * 5^2 * 7^2
jagy@phobeusjunior:~$
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