Diferencia entre la norma y la distancia

Question

Ahora estoy estudiando el espacio métrico. Aquí, no entiendo por qué las definiciones de distancia y norma en el espacio euclidiano se dan en mi libro.

Entiendo la diferencia entre dos conceptos cuando trabajo en el espacio no euclidiano, pero ¿hay alguna diferencia, aunque sea mínima, entre estos dos conceptos cuando es $ \mathbb {R}^k$ ?

Answer 1

Todas las normas pueden utilizarse para crear una función de distancia como en $d(x,y) = \|x-y\|$ pero no todas las funciones de distancia tienen una norma correspondiente, incluso en $\mathbb{R}^k$ . Por ejemplo, una distancia trivial que no tiene norma equivalente es $d(x,x) = 0$ y $d(x,y) = 1$ cuando $x\neq y$ . Otra distancia en $\mathbb{R}$ que no tiene una norma equivalente es $d(x,y) = | \arctan x - \arctan y|$ .

Sin embargo, en general, cuando se trabaja en $\mathbb{R}^k$ la distancia utilizada es la inducida por una norma, y las distancias "inusuales" se suelen utilizar para ilustrar otros conceptos matemáticos (por ejemplo, la $\arctan$ distancia da un ejemplo de un espacio métrico incompleto).

Answer 2

Lo que dijo user29999 es la principal diferencia, es decir: una distancia es una función

$$d:X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_+$$

mientras que una norma es una función:

$$\| \cdot \| X \longrightarrow \mathbb{R}_+$$

Sin embargo, creo que se pregunta si uno induce al otro. Así que una norma siempre induce una distancia por:

$$d(x,y) = \|x-y\|$$

Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Para que una distancia provenga de una norma, es necesario que se verifique:

$$d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha | d(x,y)$$

Si tomamos la distancia discreta en cualquier espacio:

$$d(x,y) = \begin{cases} 0, \text{ if $x = y$}\\ 1, \text{ if $x \ne y$} \end{cases}$$

Entonces esta distancia no verifica la condición, por ejemplo para $\alpha = 2$ .

Answer 3

Puede tomar la norma de un elemento . Una distancia necesita dos elementos. Por lo tanto, no podemos hablar de la distancia de un elemento.

Por ejemplo: El valor absoluto en los números reales es una norma. Por ejemplo $\lvert -3 \lvert = 3$ . La distancia correspondiente es $d(x,y) = \lvert x - y\lvert$ . Por ejemplo $d(-3, 7) = \lvert -3 - 7\lvert = \lvert -10\lvert = 10$ .

Answer 4

La distancia es una función de dos vectores $d(x,y)$ mientras que la norma es una función de un vector $||v||$ . Sin embargo, frecuentemente se utiliza la norma para calcular la distancia mediante la diferencia de dos vectores $||y-x||$ .

Answer 5

La distancia es una función $d:X\times X \longrightarrow \mathbb{K}$ y $Norm$ es una función $n:X \longrightarrow \mathbb{K}$ donde $\mathbb{K}$ es un campo.