Infinito de la función de onda radial de hidrógeno $r=0$

Question

Al tratar de resolver la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno, uno generalmente se divide la función de onda en dos partes:

$$\psi(r,\phi,\theta)= R(r)Y_{l,m}(\phi,\theta).$$

Entiendo que la parte radial tiene generalmente una singularidad para el 1s del estado en $r=0$ y por eso Quite por escrito:

$$R(r) = \frac{u(r)}{r}$$

Pero cuál es el significado físico de

$$R(r=0) = \infty~?$$

¿No significa esto que la nube electrónica es sólo en el centro del nucleolo atómico?

Answer 1

La minúscula probabilidad de que el electrón a ser en el volumen de $dV$ alrededor de un punto de $(r,\theta,\phi)\leftrightarrow (x,y,z)$ está dado por $$ dP = dV\cdot |\psi(x,y,z)|^2 = dV\cdot |R(r)|^2\cdot |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 =\dots$$ como usted puede ver si usted sustituir el Ansatz para la función de onda. Sin embargo, el infinitesimal de volumen $dV=dx\cdot dy\cdot dz$ puede ser reescrita en términos de diferenciales de las coordenadas esféricas como $$ dV = dr\cdot r^2 \cdot d\Omega = dr\cdot r^2 \cdot \sin\theta\cdot d\theta\cdot d\phi $$ donde el pequeño ángulo sólido $d\Omega$ fue reescrito en términos de las coordenadas esféricas. Usted verá que para dimensiones razones (o porque la superficie de una esfera escalas como $r^2$), hay un factor adicional de $r^2$ $dV$ y por lo tanto también en $dP$ que suprime la probabilidad. Simplemente no hay suficiente volumen para valores pequeños de a $r$.

Por lo $|R(r)|^2$ aún puede ir como $1/r^2$ pequeña $r$ y en ese caso, $dV$ será proporcional a $dr$ veces una función que es finito para $r\to 0$. Tal $dP$ puede ser integrado y no hay una divergencia en todos los cerca de $r=0$.

Es por eso que uno debe permitir que la función de onda para ir como $1/r$ cerca de $r=0$ que es la verdadera contraparte de una dimensión de la función de onda del ser finito cerca de un punto. Sin embargo, la Naturaleza no uso esta en particular la laguna debido a que la función de onda $\psi$ pequeña $r$ escalas como $r^l$ donde $l$ es el número cuántico orbital y la función de onda en realidad nunca se aparta a pesar de que podría.

Answer 2

El observable físico no es el wavefunction, pero su integral en un área finito. En coordenadas esféricos, esto es:

$P({\vec x})=\int dr\, d\theta\, d\phi r^{2}\sin\theta \psi^{*}\psi$

Esta integrando es manifiestamente finito en $r=0$, aunque cuenta con un divergance de $R(r)$ $\frac{1}{r}$.

Answer 3

Para un hidrógeno como el átomo en 3 dimensiones espaciales, la reescritura de la parte radial

$$R(r)~=~\frac{u(r)}{r}$$

no se realiza para mantener el $u(r)$ parte regular, como OP sugiere, pero por lo general debido a que el 3D radial de la ecuación en términos de la $u$ función tiene la misma forma que una 1D ecuación de Schrödinger.

Imagino que la parte radial de la función de onda va como un poder

$$R(r) ~\sim ~ r^{p} \qquad {\rm} \qquad r~\a~ 0, \qquad p~\~\mathbb{R}.$$

En general jardín, se puede imponer la siguiente lista de consistencia condiciones, que aparece con el más débil condición primera y la más fuerte de la condición última.

1. Normalizability de la función de onda $$\infty~>~\langle\psi|\psi\rangle~=~\int d^3r~|\psi(\vec{r})|^2 ~\propto~ \int_0^{\infty} r^{2}dr~|R(r)|^2 .$$ Integrabilidad en $r=0$ de los rendimientos que el poder $p>-\frac{3}{2}$. En otras palabras, este normalizability condición por sí misma no implica que $R(r)$ o $u(r)$ debe ser regular en $r=0$, que es también la conclusión de que muchas de las otras respuestas.

2. La expectativa de valor de la energía potencial $V$ debe ser delimitada desde abajo, $$-\infty~<~\langle\psi| V|\psi\rangle~=~\int d^3r~V(r)|\psi(\vec{r})|^2~\propto~-\int_0^{\infty} rdr~|R(r)|^2. $$ Integrabilidad en $r=0$ de los rendimientos que el poder $p>-1$. En otras palabras, $u(r)$ debe ser regular para $r\to 0$.

3. La energía cinética del operador (o, equivalentemente, el Laplaciano $\Delta$) deberían comportarse de auto-adjointly para dos funciones de onda $\psi_1(\vec{r})$$\psi_2(\vec{r})$, $$\langle\psi_1| \Delta\psi_2\rangle~=~-\langle\vec{\nabla}\psi_1| \cdot\vec{\nabla}\psi_2\rangle,$$ without picking up pathological contributions at $r=0$. A detailed analysis shows that the powers of the radial parts of $\psi_1(\vec{r})$ and $\psi_2(\vec{r})$ should satisfy $p>-\frac{1}{2}$.

En comparación, el estado unida a soluciones no negativas $p=\ell\in \mathbb{N}_0$, y por lo tanto satisfacer estas tres condiciones.

Answer 4

Además, el simplemente las restricciones geométricas que Jerry y Lubos hablar, la derivación se utiliza para ilustrar el problema casi siempre se asume que el protón es un punto de partículas que es una muy buena aproximación, pero no es estrictamente cierto. Trabajando de nuevo el problema con un realista carga del protón función de densidad (más o menos constante dentro de un radio de aproximadamente 1 fm) sería otra forma de eliminar la singularidad.

La mente, que este argumento no se sostiene por la positronium así que usted todavía necesita la restricción geométrica.

Answer 5

De hidrógeno, $R(r)$ no divergen, como $U(r)$ desaparece como rápido como (o más rápido que) $r$ $r\rightarrow 0$. De hecho, es sólo para los orbitarios de $s$ que el wavefunction es cero no en $r=0$. Pero como señaló antes, un wavefunction radial de cero significa una probabilidad cero de encontrar el electrón en el centro.