¿Hay alguna razón profunda por la que $(3, 4, 5)$ ¿es pitagórico?

Question

El triple $(3, 4, 5)$ es una tripleta pitagórica - satisface $a^2 + b^2 = c^2$ y, equivalentemente, sus componentes son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo en el plano euclidiano.

Pero, por supuesto, lo primero que se nota es que el triple $(3, 4, 5)$ también resulta ser una sucesión aritmética de números pequeños.

¿Existe una razón profunda por la que la elección de estos tres números sucesivos da lugar a un triple pitagórico?

Para quien considere que la pregunta es una tontería: considere $3^3+4^3+5^3$ .

Answer 1

Poner $a = n$ , $b = n + r$ , $c = n + 2r$ . Simplificar $c^2 = a^2 + b^2$ para conseguirlo: $$ (n + r)(n - 3r) = 0 $$

O bien $n = -r$ pero esto significa que $b = 0$ . O $n = 3r$ , lo que da: $$ a = 3r,\ b = 4r,\ c = 5r $$

Por lo tanto, $(3, 4, 5)$ (y sus múltiplos) es la única progresión aritmética que también es un triple pitagórico.

Answer 2

$(3,4,5)$ es pitagórico porque $5$ es un primo de la forma $4k+1$ . Algunos datos conocidos:

• Todas las primas $p$ de la de $4k+1$ puede reescribirse como una suma de cuadrados de dos enteros positivos distintos:

$$\forall k \in \mathbb{Z}_{+}, p = 4k+1\text{ prime} \implies \exists \alpha, \beta \in \mathbb{Z}_{+} \text{ s.t. } \alpha \neq \beta \wedge p = \alpha^2 + \beta^2$$

• Cada número $n$ que puede escribirse como una suma de cuadrados de dos enteros positivos distintos forma parte de un triplete pitagórico debido a una identidad algebraica:

$$n = (\alpha^2+\beta^2) \implies n^2 = (\alpha^2+\beta^2)^2 = (\alpha^2-\beta^2)^2 + (2\alpha\beta)^2$$

• Cada triplete pitagórico $(a,b,c)$ tiene una parametrización de la forma

$$a^2 + b^2 = c^2 \implies \begin{cases}a = (\alpha^2-\beta^2)\mu\\b = 2\alpha\beta\mu\\c = (\alpha^2 + \beta^2)\mu\end{cases}\quad\quad\text{up to order of }a, b$$

• Cuando $a, b$ son primos relativos entre sí, podemos establecer $\mu$ arriba a 1.

Toma $5 = 2^2+1^2$ como ejemplo, obtenemos:

$$\begin{cases}a = 2^2-1^2 = 3\\b = 2\cdot 2 \cdot 1 = 4\\c = 2^2 + 1^2 = 5\end{cases} \quad\quad\text{is a Pythagorean triplet}$$

$c = 5$ es el ejemplo más pequeño de dicho triplete pitagórico. Dado que sólo hay 4 números menores que 5, es sólo una coincidencia que $(3,4,5)$ son números enteros sucesivos.

Answer 3

En realidad estos son los únicos 3 números naturales consecutivos que coinciden con la ecuación.

Estamos buscando una solución para esta ecuación:

$$\begin{align}a^2+(a+1)^2&=(a+2)^2\\a^2-2a-3&=0\end{align}$$ Y las únicas soluciones son $a_1=3, a_2=-1$ .

Y no creo que haya ningún significado en estos números.

Answer 4

Triples pitagóricos con dos números consecutivos

En realidad existen infinitas triplas pitagóricas en las que los dos números más altos son consecutivos, con la condición de que la suma de estos números sea un cuadrado. La prueba es realmente sencilla. Sea $a$ sea un número natural, la diferencia entre los cuadrados de $a$ y $a+1$ es $$(a+1)^2 - a^2 = 2a + 1 = a + (a+1).$$ $a$ y $a+1$ constituye un triple pitagórico si $2a+1$ también es un cuadrado. Por supuesto, el número más bajo debe ser impar y, de hecho, todos los números Impares, excepto el 1, pueden utilizarse para construir tales triples. Los ejemplos son $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(7,24,25)$ , $(9,40,41)$ , $(11,60,61)$ , $(13,84,85)$ etc.

Triplete pitagórico con tres números consecutivos

Si además quieres que el número más bajo preceda al central tienes que hacer otros cálculos. Sea $2n+1$ sea el número más bajo, con $n$ natural, su cuadrado es la suma de los más altos: $$(2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 2n(n + 1) + (2n(n + 1) + 1)$$ Así, la forma general de estas triplas es $(2n+1, 2n(n+1), 2n(n+1) +1)$ . Si $2n+1$ precede a $2n(n+1)$ se cumple la siguiente ecuación $$(2n + 1) + 1 = 2n(n + 1) \iff 2(n+1) = 2n(n+1)$$ de la cual $n = 1$ y el triple deseado es $(3,4,5)$ .

Por lo tanto, no hay nada especial en un triple pitagórico con dos números consecutivos, $(3,4,5)$ es el único triple con los tres números consecutivos.

Answer 5

Pues bien, se pueden caracterizar todos los triples por

$a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2$ con $m$ y $n$ coimero.

Si eliges el par más pequeño, $m=2, n=1$ , se obtiene $3,4,$ y $5$ . Así que, en cierto sentido, es el tríptico más sencillo que se puede construir.