Supongamos que queremos hacer una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética de dos números irracionales, y queremos algo de confianza en que nuestra respuesta es correcta a $n$ cifras significativas/decimales. Haciendo esto a $n$ siginificant figuras parece mucho más difícil, ya que los dos números pueden ser de muy diferentes escalas, y usted podría experimentar fenómenos tales como "catastrófica de cancelación" , por ejemplo.
Así que tratemos de hacer $\pi + e$, corregir a $5$ decimales. Si me tome $\pi$ $e$ correcta a $5$ decimales, y tratar de agregarlos con aritmética de intervalos, podemos ver que $[3.14159, 3.14160] + [2.71828, 2.71829] = [5.85987, 5.85989]$; es decir, que solo tenemos una respuesta correcta a $4$ decimales. Sin embargo, si hacemos el mismo cálculo, el uso de $\pi$ $e$ $6$ decimales, podemos ver que $[3.141592, 3.141593] + [2.718281, 2.718282] = [5.859873, 5.859875]$; es decir, se obtiene una respuesta correcta a $5$ decimales.
Como otro ejemplo, tomar la multiplicación. Si tomamos $\pi$ $e$ $6$ decimales, y los multiplicaré, vemos que $[3.141592, 3.141593] * [2.718281, 2.718282] = [8.53972..., 8.53973...]$. Así que en este caso, sólo obtenemos algo correcto a $4$ decimales. Sin embargo, realizar el cálculo con $\pi, e$ $7$ decimales, se obtiene la respuesta correcta a $5$ decimales: $[3.1415926, 3.1415927] * [2.7182818, 2.7182819] = [8.539733..., 8.539734...]$.
Sin embargo, si uno de nuestros multiplicands es mucho más grande que el otro, necesitamos más posiciones decimales para obtener un mismo nivel de precisión. Por ejemplo, para obtener el $50\pi * e$ $5$ decimales, tenemos $50\pi$ $7$ decimales y $e$ $9$ decimales.
A partir de esto, es tentador suponer que si $a$ $b$ son números irracionales, y queremos que $a + b$ $n$ decimal, basta con usar $a,b$ redondeado a $n+1$ decimales. Además, si queremos que $a*b$ $n$ decimales, también es tentador conjeturar que es suficiente para trabajar con $a$ $n+ 2 + \lfloor\log_{10}(b)\rfloor$ decimales, e $b$ $n + 2 + \lfloor\log_{10}(a)\rfloor$ decimales.
Desde la resta y la división puede escribirse como la suma y la multiplicación, respectivamente, es suficiente para entender la adición y la multiplicación. ¿Alguien tiene alguna información sobre esto? ¿Alguien puede ver ninguna manera de probar las dos conjeturas de arriba? Es decir, si de verdad son correctas?
EDIT: Como stewbasic ha señalado en los comentarios de abajo, el enfoque anterior para, además de no funcionar si la precisión necesaria es menor que la precisión de uno de los sumandos (en términos generales). Me han sugerido una solución en los comentarios de abajo, pero a mí me parece que cualquier prueba de esta solución sugerida sería bastante complicado.
