Me gustaría resolver la integral:
$$\int_0^{+\infty}\quad rJ_n(ar)J_n(br)\quad dr$$
¿Existe alguna forma cerrada para ello? Gracias.
¿Qué pasa si tengo en su lugar:
$$\int_0^{c}\quad rJ_n(ar)J_n(br)\quad dr$$
con $c>0$ .
(Como la primera parte ya tiene una respuesta adecuada, la recompensa se ofrece en realidad por la segunda).
Según Funciones Wolfram (en la parte inferior) esto es simplemente (para cualquier $n$ en $\mathbb{R}$ ) : $$\int_0^{+\infty}r\,J_n(ar)J_n(br)\ dr=\frac {\delta(a-b)}a$$
La misma fórmula aparece en DLMF donde esta ecuación de cierre aparece con las restricciones $\ \Re(n)>-1,\;a>0,\;b>0$ y referencias adicionales (A & W $11.59$ por ejemplo).
Puede demostrarse utilizando la transformada de Hankel : véase Transformada de Hankel" de Wikipedia .
Si sustituimos el límite superior (infinito) por un límite finito $c$ obtenemos el resultado amablemente indicado por J.M. (cambiando simplemente el signo ya que queremos la integral sobre $(0,c)$ y de conformidad con Alpha resultado $\not =$ y resultado $=$ para algún valor específico de $n$ ) : \begin{align} \tag{1}\int_0^c r\,J_n(a r) J_n(b r) \,dr&=\frac c{a^2-b^2}\left[b \;J_n(a\,c)\,J_{n-1}(b\,c)-a\;J_{n-1}(a\,c)\,J_n(b\,c)\right]\quad\text{if}\ a\not =b\\ \tag{2}\int_0^c r\,J_n(a r)^2 \,dr&=\frac {c^2}2\left[J_n(a\,c)^2-J_{n-1}(a\,c)\,J_{n+1}(a c)\right]\\ \end{align}
El primer resultado aparece como entrada $03.01.21.0064.01$ en las funciones Wolfram, mientras que la segunda es entrada $03.01.21.0055.01$ . Suelen denominarse "primera y segunda Integrales de Lommel '.
Para una referencia realmente venerable puede consultar Whittaker & Watson p. $381$ con este interesante ejercicio (utilizando nuestras notaciones anteriores) :
"Demostrar que, si $a\not =b$ y $n>-1$ ", $$(a^2-b^2)\int_0^c r\,J_n(a r) J_n(b r) \,dr=c\left[J_n(a\,c)\frac d{dc}J_n(b\,c)-J_n(b\,c)\frac d{dc}J_n(a\,c)\,\right],$$ $$2a^2\int_0^c r\,J_n(a r)^2 \,dr=(a^2c^2-n^2)J_n(a\,c)^2-\left[c\frac d{dc}J_n(a\,c)\right]^2$$
Para una prueba, véase página $33$ y $34$ de la conferencia de Culham o Página del libro de Bowman $101$ .
Las relaciones de recurrencia ( Wikipedia ) : $$\frac d{dc}J_n(a\,c)=\frac a2\left[J_{n-1}(a\,c)-J_{n+1}(a\,c)\right]= a\,J_{n-1}(a\,c)-\frac ncJ_n(a\,c)$$ debería permitirle obtener el $(1)$ y $(2)$ fórmulas.
(el ejercicio $19$ de W & W con $a$ y $b$ dos ceros diferentes de $J_n$ también parece interesante)
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