La de Riemann función de Distancia no cambia si utilizamos suave caminos?

Question

La Riemann función de distancia $d(p,q)$ es generalmente definido como el infimum de las longitudes de todos los tramos suaves caminos entre el$p$$q$.

¿Cambia si tomamos el infimum sólo a través de vías lisas? (Tenga en cuenta que si una suave colector está conectado, entonces es fácilmente ruta de acceso conectado).

Estoy bastante seguro de que la distancia no cambia. Yo creo que cada seccionalmente suave ruta de acceso puede ser aproximada por un buen camino.

Alrededor de cualquier punto singular de la ruta original, podemos tomar una coordenada de la bola, y crear smomehow un suavizado de un segmento relevante de la ruta, que no es mucho más largo que el original.

Una construcción explícita como este puede ser encontrado aquí. Sin embargo, el punto no es sólo para mostrar el buen camino de la conectividad, y también necesitamos un poco de obligada en el "longitud agregada".

Resultado parcial (Reducción para el caso de la métrica Euclidiana):

Me muestran que la métrica de Riemann no importa. Es decir, si podemos crear un suavizado con pequeño alargamiento medido por una métrica $g_1$, entonces podemos hacer lo mismo para cualquier otra métrica $g_2$.

Por lo tanto es suficiente para demostrar la reclamación por $\mathbb{R}^n$ con el estándar métrico.

Prueba:

Ya que la pregunta es local (nos centramos en torno a algún punto de $p$ de los no-la suavidad de la original trozos camino liso) podemos tomar un ortonormales marco para $g_1$, que se denota por a $E_i$. escribir $g_{ij}=g_2(E_i,E_j)$, quiero encontrar a $\text{max} \{g_2(v,v)|v\in \mathbb{S}^{n-1}_{g_1}\} = \text{max} \{g_2(v,v)|v=x^iE_i , x=(x^1,...,x^n) \in \mathbb{S}^{n-1}_{Euclidean}\} = \text{max} \{g_{ij}x^ix^j| \sum(x^i)^2=1 \} = \text{max} \{x^T \cdot G \cdot x | \|x\|=1 \} = \text{max}{\lambda(G)}$.

Desde las raíces de un polinomio son continuas en términos de sus coeficientes, y los coeficientes de la charactersitic polinomio de una matriz que depende de forma continua en la matriz de entradas, se deduce que los autovalores de una matriz que depende de forma continua en la matriz de entradas. Por lo tanto, debido a que la matriz $g_{ij}(q)$ es una función continua de $q$, se sigue que, si nos restringimos a un compacto lo suficientemente pequeño barrio de $p$ nos la función de $f(q)= \text{max}{\lambda(g_{ij}(q))}$ es continua y en particular acotado por una constante $C$. Por lo tanto para cualquier camino de $\gamma$, que está contenida en una lo suficientemente pequeño barrio de $p$ $L_{g_2}(\gamma) \le \sqrt C L_{g_1}(\gamma)$.

En particular podemos tomar $g_1$ a ser el pullback métrica de la standrad métrica Euclidiana a través de algunos de coordinar la bola alrededor de $p$. Ahora resolver el problema de la distancia Euclídea caso (lo que implica que la solución para $g_1$), se obtiene una solución para una arbitraria $g_2$ como se requiere.

Answer 1

Si usted ya reducido este problema a la $\mathbb{R}^n$ de los casos, entonces debemos ser capaces de abordar con los habituales métodos analíticos. El siguiente es probablemente un poco de técnica exageración, pero debería funcionar.

Por lo que puedo ver, el único problema es que para conectar suavemente dos piezas con una arbitrariamente pequeña pérdida de longitud. Supongamos que tenemos dos vías lisas $$p_1: [a,0] \to \mathbb{R}^n $$ y $$p_2: [0,b] \to \mathbb{R}^n $$ tal que $p_1(0)=p_2(0)$.

Ahora, para algunos arbitrariamente pequeño $\delta$ queremos construir $\tilde{p}:[a,b]\to \mathbb{R}^n$ tal que $\tilde{p}(a)=p_1(a)$, $\tilde{p}(b)=p_2(b)$ y $$\mathop{Length}(\tilde{p}) = \mathop{Length}(p_1)+ \mathop{Length}(p_2)+\varepsilon$$ Para esta construcción de una partición de la unidad: Vamos a $$\varphi_1(t) := \begin{cases} 1 & \text{ for } t\leq -\delta \\ 0 & \text{ for } t\geq \delta \\ \frac{e^{-1/(x-\delta)}}{ e^{-1/(x-\delta)}+e^{-1/(x+\delta)}} & \text{ for }t \in (-\delta,\delta) \end{cases} $$ y $\phi_2(t) = 1-\phi_1(t)$. A continuación, el $\phi_i(t)$ son suaves y $|\dot{\phi(t)}|\leq \frac{4}{\delta}$. (No he revisado los detalles aquí, pero definitivamente hay una función de este tipo)

Creo que podemos asumir con seguridad a ambas partes a ser parametrizados por longitud de arco (que es $|\dot{p}_i(t)| = 1$ todos los $t$) y podemos extender suavemente de ellos (por ejemplo, en su serie de taylor) un poco, por lo que están definidos en $[a,\delta]$$[-\delta,b]$.

Ahora vamos a definir los $$\tilde{p}:[a,b]\to \mathbb{R}^n; t \mapsto \phi_1(t) p_1(t)+\phi_2(t) p_2(t)$$ (técnicamente necesitamos ampliar la $p_i$ a todos los de $[a,b]$, pero el correspondiente $\phi_i$$0$, de todos modos, así que esto funciona como una definición) A continuación, $\tilde{p}$ es suave, ya que está construido a partir de las funciones lisas y es igual a$p_1$$[a,-\delta]$$p_2$$[\delta,b]$, tan sólo tenemos que preocupamos por el medio.

Pero ahora para $t\in[-\delta,\delta]$ $$ |\tilde{p}(t)| = |\dot{\phi}_1(t)p_1(t)+\dot{\phi}_2(t)p_2(t)+\phi_1(t)\dot{p_1}(t) + \phi_2(t)\dot{p_2}(t)|$$ así que a través de la desigualdad triangular y observando que $\dot{\phi}_2= -\dot{\phi}_1$ $$ \leq \underbrace{|\dot{\phi}_1(t)|}_{\leq 4/\delta} |p_1(t)-p_2(t)| + \phi_1 (t) \underbrace{|p_1(t)|}_{=1} + \phi_2(t) \underbrace{|p_2(t)|}_{=1}$$ $$ \leq 4/\delta |p_1(t)-p_2(t)| + \phi_1(t)+\phi_2(t)$$ por lo tanto desde $p_1(0)=p_2(0)$ $|\dot{p}_i|=1$ implica $|p_1(t)-p_2(t)| \leq 2|t| \leq 2\delta$: $$\leq 4/\delta \cdot 2\delta + 1 = 9$$

Tan sólo tenemos que integrar: $$\mathop{Length}(\tilde{p}) = \int_a^b |\tilde{p}(t)| dt $$ $$= \int_a^{-\delta} |\tilde{p}(t)| dt + \int_\delta^b |\tilde{p}(t)| dt + \int_{-\delta}^{\delta} |\tilde{p}(t)| dt $$ $$ \leq \mathop{Length}(p_1) + \mathop{Length}(p_2) + 2\delta \cdot 9$$ que es lo que queríamos.

Por supuesto que en realidad no están en $\mathbb{R}^n$, pero en algún subconjunto abierto, pero para una pequeña suficientemente $\delta$ esto no debe representar ningún problema.

editar: Tal vez algún ligero cambio, si usted no cree en la extensión de la $p_1$$p_2$, también es posible sólo reparamterize de tal manera que $p_1(\delta) = p_2(-\delta)$, ya que sólo necesitamos $p_1(t)$ $p_2(t)$ a cerca de para los pequeños $t$ y en realidad no ser igual en cualquier lugar.

Answer 2

No, la distancia sigue siendo la misma. Como se mencionó en la fórmula para La distancia entre dos puntos en el colector de Riemann, la razón para permitir que los tramos de curvas suaves es ser capaz de concatenar ellos, conseguir otros tramos de curvas suaves.

Para cualquier curva suave a trozos de $p$ $q$no es fácil de casi la misma longitud. Por ejemplo, supongamos $\gamma$ tiene un punto de nonsmoothness en $t=t_0$, con una cara de derivados de la no coincidencia. Inserte un pequeño bucle basado en $\gamma(t_0)$ que comienza con el vector de velocidad de la $\gamma'(t_0-)$ y termina con el vector de velocidad de la $\gamma'(t_0+)$. El punto de nonsmoothness se ha ido, y agregó que la longitud puede ser atbitrarily pequeño.

Answer 3

Una observación complementaria a la respuesta.

En una de Riemann colector (sin la "falta" de puntos, por ejemplo, completar) la longitud mínima en cualquier homotopy clase de camino existe y es alcanzada por una geodésica camino, que es necesariamente suave. Si el colector es de algunos razonablemente finito topológico de tipo (compact es mucho más que suficiente), el infimum de la línea geodésica longitudes en el hecho de ser alcanzado por uno de los caminos geodésicos, de manera que la distancia mínima entre dos puntos siempre es realizado por una geodésica.