Considere los conjuntos de $G$ $H$ y una función de $f : G \rightarrow H$. Hasta el momento, en realidad no tiene sentido preguntar si $G$ $H$ son grupos (técnicamente, la respuesta es "no, no lo son los grupos"), y ciertamente no tiene ningún sentido preguntar si $f$ es un grupo homomorphism.
Sin embargo, la visualización de $G$ $H$ como establece equipado con una operación binaria, que de repente tiene sentido preguntar si $G$ $H$ son grupos. Supongamos que son. Entonces, tiene sentido preguntarse si o no $f$ es un grupo homomorphism.
Por lo $G$ $H$ son sólo conjuntos, pero en el contexto que puedan ser vistos como grupos o espacios topológicos, o lo que sea.
Así que lo que estoy buscando es una manera rigurosa de dotar a los conjuntos con estructura adicional dentro de contextos específicos. Así, por ejemplo, en el "vacío contexto," $G$ es sólo un conjunto, con ninguna estructura adicional. Pero dentro de un contexto, $G$ puede ser equipado con una operación binaria, o de algunos de los conjuntos, o lo que sea.
Como un ejemplo más completo, me gustaría que precisa el significado de los teoremas como el siguiente.
Teorema. Deje $G$ $H$ denotar conjuntos y $f : G \rightarrow H$ denotar una función. Deje $\Gamma$ denotar un contexto en donde el $G$ $H$ son grupos y $f$ es un grupo homomorphism. A continuación, los siguientes son equivalentes.
- $f$ es una inyección
- En el contexto de $\Gamma$, sostiene que el núcleo de $f$ es un singleton conjunto.
Tenga en cuenta que la condición 1 es un contexto independiente, porque si no $f$ es una inyección o no no depende de la estructura adicional que $\Gamma$ dota a $G$$H$. Por otro lado, la condición 2 es dependiente del contexto, porque el sentido de que "el núcleo de $f$" depende de la estructura adicional que $\Gamma$ dota a $H$.
Así que, en conclusión, estoy buscando una aproximación rigurosa a esta idea de que los conjuntos de estructura de ganancia dentro de contextos. Quiero algo que está cerca legibles por ordenador, y no "a mano waivy."
Observación. Los grupos son sólo un ejemplo; yo no estoy especialmente interesado en los grupos.
Edit. Lo que sigue es el pensamiento que me llevan a la idea de contexto.
Por lo general, podemos hacer suposiciones mediante la apertura de un nuevo "medio ambiente" en nuestra prueba. Por ejemplo, si $p$ ya es un número natural, podemos abrir un nuevo entorno en el que se supone que $p$ es primo. Si se demuestra que la declaración de $p>10$ dentro del nuevo entorno, entonces podemos escribir la declaración de la "Si $p$ es primo, entonces $p>10$" en el entorno original.
Ahora es importante destacar que, cuando abrimos un nuevo entorno de esta manera, no estamos generalmente se les permite "eliminar" supuestos. Por ejemplo, si $p$ es ya natural, podemos escribir "Supongamos $p$ es primo," pero no podemos escribir, "Suponemos $p$ ya no es natural." Es decir, no podemos deshacer una suposición por la fabricación de un nuevo supuesto.
En un sentido, esto es exactamente lo que estoy buscando. Me gustaría ser capaz de decir,
"Supongamos $G$ ya no es sólo un conjunto; se supone que es ahora un conjunto juntos con una operación binaria satisfacer el grupo de axiomas."
Por supuesto, ninguna suposición podría lograr esto. Una hipótesis no puede deshacer una hipótesis previa.
Así que tenemos inteligente; que inventar la noción de un contexto. Nuestra oración se convierte en:
Deje $\Gamma$ denotar un contexto en el que $G$ ya no es sólo un conjunto; más bien, es ahora un conjunto junto con una operación binaria satisfacer el grupo de axiomas.
Ahora hemos hecho un poco de progreso, debido a que ya no estamos tratando de utilizar supuestos, para deshacer los otros supuestos.
Pero esto plantea la pregunta: ¿qué significa la oración anterior significa? Y ¿cuál es la definición correcta de la palabra "contexto"?
